Анализ и прогнозирование объемов продаж сетей автозаправок

 

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

 

Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського

«Харківський авіаційний інститут»

 

Кафедра інформаційних управляючих систем

 

 

 

 

                         КУРСОВИЙ ПРОЕКТ

(РОБОТА)

з дисципліни _________________________________________________

______________________________________________________________

(назва дисципліни)

на тему:_____________________________________________________

____________________________________________________________

 

 

 

Студентки _____ курсу ______ групи

напряму підготовки__________________

___________________________________

(шифр і назва)

спеціальності_______________________

___________________________________

(шифр і назва)

 __________________________________

(прізвище та ініціали студента)

Керівник ___________________________

____________________________________

(посада, вчене звання, науковий  ступінь, прізвище та ініціали)  

 

Національна шкала ________   

Кількість балів: _____

Оцінка:  ECTS _____

 

                                                             Члени комісії _______  _______________

                                                                                                                                        (підпис)               (прізвище та ініціали)

                                                                                       _______  _______________

                                                                                                                                        (підпис)               (прізвище та ініціали)

                                                                                       _______  _______________

                                                                                                                                        (підпис)               (прізвище та ініціали)

 

Харків – 2012

 

 

ДОДАТОК В

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ АЕРОКОСМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Ім. М. Є. Жуковського

"Харківський  авіаційний інститут"

Кафедра "Інформаційні управляючі системи"

 

"ЗАТВЕРДЖУЮ" ЗАВ. КАФЕДРОЮ________________ "___'____________200__р.

 

Завдання до курсового проекту з курсу ___________________________

_____________________________

Студенту_____________________ Група_______________

Тема проекту______________________

_____________________________

_____________________________

Початкові дані: _____________________________

_____________________________

_____________________________

_____________________________

_____________________________

Дата видачі: _____________________________

Термін захисту проекту______________________

 

Зміст курсового проекту:	%	Термін
Огляд та аналіз літератури з теми проекту. Основна частина проекту (роботи). Вибір і обґрунтування засобу розрахунку (синтезу, оптимізації, оцінки ефективності). Експериментальна частина: складання програм розрахунку, макетування прибудую, моделювання на ПЕОМ. Графічна частина проекту_________________ Розробка висновків та рекомендацій. Оформлення пояснювальної записки.

 

Керівник_____________________

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т. д. Все они изменяются во времени. С течением времени изменяются деловая активность, режим протекания того или иного производственного процесса, глубина сна человека, восприятие телевизионной программы. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода в течение некоторого периода времени представляют собой временной ряд. 

Совокупность существующих методов анализа таких рядов наблюдений называется анализом временных рядов. Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения. Если во многих задачах наблюдения статистически независимы, то во временных рядах они, как правило, зависимы, и характер этой зависимости может определяться положением наблюдений в последовательности. Природа ряда и структура порождающего ряд процесса могут предопределять порядок образования последовательности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Постановка задачи

Выполнить анализ временного ряда, сделать прогноз на ближайшие 12 месяцев. Убедится, что построенная модель прогноза верна.

В качестве исходного ряда для прогноза, представлены данные продажи бензина на бензоколонках в период с января 1953г. по декабрь 1964г.

Цифровое представление данных прилагается СD-диске, вместе с курсовым проектом.

2. Теоретическая часть

Временный ряд

Временные ряды — это наиболее интенсивно развивающееся, перспективное направление математической статистики.

Под временным (динамическим) рядом подразумевается последовательность наблюдений некоторого признака X (случайной величины) в последовательные равноотстоящие моменты t . Отдельные наблюдения называются уровнями ряда и обозначаются , t =1,..., n.

При исследовании временного ряда выделяются несколько составляющих:

                              (1)

где ut — тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов (убыль населения, уменьшение доходов и т.д.); у- сезонная компонента, отражающая повторяемость процессов в течение не очень длительного периода (дня, недели, месяца и тд.); с, — циклическая компонента, отражающая повторяемость процессов в течение длительных периодов времени свыше одного года; e — случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов.

Первые три компоненты представляют собой детерминированные составляющие. Случайная составляющая образована в результате суперпозиции большого

числа внешних факторов, оказывающих каждый в отдельности незначительное влияние на изменение значений признаках

Как и в математической статистике, вариационный ряд рассматривается как одна из реализаций случайной величины X, а временной ряд — как одна из реализаций случайного процесса X(t) (t — время). Но в отличие от вариационного ряда, члены временного ряда, как правило, не являются статистически независимыми и одинаково распределенными.

Временной ряд t =1,..., п называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей п наблюдений — такое же, как и наблюдений при любых п, t, To есть у стационарных временных рядов вероятностные характеристики не зависят от момента t. Поэтому математическое ожидание M(,) =а и среднеквадратическое отклонение могут быть оценены по значениям по формулам

                          (2)

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда и сдвинутых относительно друг друга на единиц, может быть определена при помоши коэффициента корреляции

                 (3)

 

 

Параметр т называют лагом ряда. Так как p(t) измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость р(t) — автокорреляционной функцией. В силу стационарности временного ряда р(t) зависит только от г и р(t) = р(-t).

Можно выделить следующие этапы анализа временных рядов:

1.   Графическое представление и анализ поведения временного ряда.

2.   Выделение  и анализ детерминированных составляющих  ряда.

3.   Сглаживание  и фильтрация (удаление низко- или  высокочастотных составляющих) временного ряда.

4.   Исследование  случайной составляющей  временного  ряда, построение и проверка адекватности  математической модели ее описания.

5.   Прогнозирование  поведения временного ряда на  основе проведенных исследований.

Задача прогнозирования состоит в том, чтобы по значениям наблюдений, собранных к данному моменту, определить значения в следующие моменты.

Прогнозирование – это научное выявление вероятностных путей и результатов предстоящего развития явлений и процессов, оценка показателей процессов для более или менее отдаленного будущего.

Изменение состояния наблюдаемого явления (процесса) характеризуется совокупностью параметров x1, x2, … , xt,…, измеренных в последовательные моменты времени. Такая последовательность называется временным рядом.

Анализ временных рядов – одно из направлений науки прогнозирования.

Если одновременно рассматриваются несколько характеристик процесса, то в этом случае говорят о многомерных временных рядах

 

Графическое представление и анализ поведения временного ряда.

Современную науку невозможно представить без применения графиков. Они стали средством научного обобщения.

Выразительность, доходчивость, лаконичность, универсальность, обозримость графических изображений сделали их незаменимыми в исследовательской работе и в международных сравнениях и сопоставлениях социально-экономических явлений.

Таким образом, статистический график - это чертеж, на котором статистические совокупности, характеризуемые определенными показателями, описываются с помощью условных геометрических образов или знаков. Представление данных таблицы в виде графика производит более сильное впечатление, чем цифры, позволяет лучше осмыслить результаты статистического наблюдения, правильно их истолковать, значительно облегчает понимание статистического материала, делает его наглядным и доступным. Это, однако, вовсе не означает, что графики имеют лишь иллюстративное значение. Они дают новое знание о предмете исследования, являясь методом обобщения исходной информации.

Значение графического метода в анализе и обобщении данных велико. Графическое изображение прежде всего позволяет осуществить контроль достоверности статистических показателей, так как, представленные на графике, они более ярко показывают имеющиеся неточности, связанные либо с наличием ошибок наблюдения, либо с сущностью изучаемого явления. С помощью графического изображения возможны изучение закономерностей развития явления, установление существующих взаимосвязей. Простое сопоставление данных не всегда дает возможность уловить наличие причинных зависимостей, в то же время их графическое изображение способствует выявлению причинных связей, в особенности в случае установления первоначальных гипотез, подлежащих затем дальнейшей разработке. Графики также широко используются для изучения структуры явлений, их изменения во времени и размещения в пространстве. В них более выразительно проявляются сравниваемые характеристики и отчетливо видны основные тенденции развития и взаимосвязи, присущие изучаемому явлению или процессу. При построении графического изображения следует соблюдать ряд требований. Прежде всего график должен быть достаточно наглядным, так как весь смысл графического изображения как метода анализа в том и состоит, чтобы наглядно изобразить статистические показатели. Кроме того, график должен быть выразительным, доходчивым и понятным. Для выполнения вышеперечисленных требований каждый график должен включать ряд основных элементов: графический образ; поле графика; пространственные ориентиры; масштабные ориентиры; экспликацию графика.

 

 

Рис.1. Классификация видов графиков

 

 

 

Выделение и анализ детерминированных составляющих ряда.

Под детерминированной (закономерной) составляющей временного ряда x1, x2, … , xn понимается числовая последовательность d1, d2, … , dn, элементы которой вычисляются по определенному правилу как функция времени t.

Если исключить из ряда детерминированную составляющую, то оставшаяся часть будет выглядеть хаотично. Ее называют случайной компонентой ε1, ε2, … , εn.

 

Модели разложения временного ряда на детерминированную и случайную компоненты:

1. Аддитивная  модель:

xt = dt + εt,    t=1,…n                                (4)

2. Мультипликативная  модель:

 xt = dt · εt,    t=1,…n                               (5)

Если мультипликативную модель прологарифмировать, то получим аддитивную модель для логарифмов xt.

 

В детерминированной компоненте выделяют:

1) Тренд (trt) – плавно изменяющаяся нециклическая компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно.

2) Сезонная компонента (St) – отражает повторяемость процессов во времени.

3) Циклическая компонента (Ct) – описывает длительные периоды относительного подъема и спада.

4) Интервенция – существенное кратковременное воздействие на временной ряд.

 

 

Тренд

Модели тренда:

– линейная: trt = b0 + b1t

– нелинейные модели:

полиномиальная: trt = b0 + b1t + b2t2 + … + bntn

логарифмическая: trt = b0 + b1 ln(t)

логистическая:

экспоненциальная: trt = b0 · b1t

параболическая: trt = b0 + b1t + b2t2

гиперболическая: trt = b0 + b1 /t

и другие

 

Тренд используется для долгосрочного прогноза.

 

Выделение тренда:

1) Метод наименьших  квадратов (время – фактор, временной  ряд – зависимая переменная):

xti = f (ti, θ)+εt    i=1,…n                         (6)

f – функция тренда;

θ – неизвестные параметры модели временного ряда.

εt – независимые и одинаково распределенные случайные величины.

                        (7)

Если минимизировать функцию, можно найти параметры θ.

 

2) Применение  разностных операторов

yt = xt – xt-1 = xt                                      (8)

yt = xt =xt – xt-1 = b0 + b1t+εt – b0 – b1(t –1)+εt-1 = b1+εt – εt-1           (9)

Разностный оператор второго порядка:

                                                         yt = xt –2xt-1 + xt-2 =

2 xt                                (10) 

Выделение сезонных эффектов

Пусть m – число периодов, p – величина периода.

St = St+p, для любых t.

 

1) Оценка сезонной  компоненты

а) Сезонные эффекты на фоне тренда

 Для аддитивной  модели  xt = trt + St + εt оценка:

                  (11)

 

Если необходимо, чтобы сумма сезонных эффектов равнялась 0, то переходят к скорректированным оценкам сезонных эффектов:

                                   (12)

 

Для мультипликативной модели  xt = trt * St * εt:

                  (13)

 

б) При наличии в ряде циклической компоненты (метод скользящих средних)

Идея метода: каждое значение исходного ВР заменяется средним значением на интервале времени, длина которого выбирается заранее. Выбранный интервал как бы скользит вдоль ряда.

Скользящее среднее ( ) при медианном сглаживании: t=med (xt-m,xt-m+1, …,xt+m)

При средне арифметическом сглаживании:  

 

t=1/(2m+1)(xt-m+xt-m+1+…+xt+m),  если р – четный,

t=1/(2m)(1/2*xt-m+xt-m+1+…+1/2*xt+m)  если р – нечетный.

 

Для аддитивной модели xt = trt +Ct + St + εt.

Для упрощения обозначений: начнем нумерацию величин с единицы, изменим нумерацию исходного ряда так, чтобы величине соответствовал член xt.

                        (14)

 – скользящее среднее  с периодом p, построенное по xt.

Для мультипликативной модели – перейти к логарифмам и получить мультипликативную модель.

xt = trt · Ct · St · εt                                             (15)

yt = log xt, dt = log trt,  gt = log Ct,  rt = log St,  δt = log εt        (16)

yt = dt + gt + rt + δt                                           (17)

 

2) Удаление  сезонной компоненты (сезонное выравнивание)

 

а) При наличии оценок сезонной компоненты:

Для аддитивной модели – путем вычитания из начальных значений ряда полученных сезонных оценок .

Для мультипликативной модели – путем деления начальных значений ряда на соответствующие сезонные оценки и умножением на 100%.

 

б) Применение разностных операторов

yt = xt – xt-p = xt = (1 – Bp)xt,                              (18)

где В – оператор сдвига назад.

Разностный оператор второго порядка:

yt = xt –2xt-p + xt-2p = 2 xt = (1 – Bp)2 xt = (1 – 2Bp + B2р)2 xt    (19)

Если ВР одновременно содержит тренд и сезонную компоненту, то их удаление возможно с помощью последовательного применения простых и сезонных разностных операторов. Порядок их применения не существенен:

pxt = (xt – xt-p) = (xt – xt-1) – (xt-p – xt-p-1)                    (20)

p xt = p(xt – xt-1) = (xt – xt-1) – (xt-p – xt-1-p)                  (21)

 

3) Прогнозирование  с помощью сезонной компоненты:

Для аддитивной модели:

                                               (22)

Для мультипликативной модели:

                                               (23)

 

 

Модели временного ряда ARIMA(p,d,q).

Идентификация моделей, оценка параметров, исследование адекватности модели, прогнозирование.

Случайный процесс x(t) называется процессом авторегрессии-скользящего среднего порядков p и q (ARMA(p,q)), если для него выполняется соотношение:

                  (24)

 

Нестационарные технические и экономические процессы могут быть описаны модифицированной моделью ARMA(p,q). Для удаления тренда можно использовать разностные операторы.

 

Пусть даны две последовательности U=(…,U-1,U0,U1,…) и V=(…,V-1, V0,V1,V2,…) такие, что:

 означает  ,

 означает  и т.д.

Тогда процесс AR(p) представляется в виде ,

MA(q): ,                                       (25)

ARMA(p,q):                               (26)

B можно использовать как разностный оператор, т.е. Vt=Ut – Ut-1, t

эквивалентно V=(1-B)U

Для разностей второго порядка:

z =(1-B)V=(1-B)2U                                       (27)

 

Таким образом получим модель авторегрессии-проинтегрированного скользящего среднего порядков p, d и q (ARIMA(p,d,q)),  определяемую уравнениями:

                                      (28)

                                             (29)

где – разностный оператор порядка d; x=(1-B)dx.

 

Идентифицировать модель – определить ее параметры p, d и q. Для идентификации модели служат графики частных автокорреляционных (АКФ) и частных автокорреляционных функций (ЧАКФ).

АКФ. k-й член АКФ определяется по формуле:

                                        (30)

Параметр k называют лагом. На практике k < n/4. График АКФ – коррелограмма. Если полученный ряд остатков нестационарный, то по коррелограмма можно определить причины не стационарности.

Прогнозирование. При прогнозировании необходимо получить детерминированные значения ВР по уже имеющимся формулам, а затем рассчитать случайные значения по подобранной модели и скорректировать детерминированные значения на величину случайных значений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Описание модуля Statictica 

Time Series/Forecasting

 

Общее описание

 

Для активизации модуля в меню Statistica надо выбрать последовательность команд Advanced Linear/Nonlinear Models -* Time Series/Forecasting. Откроется стартовое окно модуля (рис.18.1). После открытия файла и выбора переменной в информационной части окна в поле Variable появятся имена переменных, а в поле Long variable name — расширенное имя.

Значок слева от имени переменной означает, что переменные закрыты на ключ и не могут быть удалены без прерывания анализа. Весь дальнейший диалог происходит именно с этими переменными, которые можно преобразовывать, анализировать, но нельзя удалять из текущего анализа. В процессе работы для выбора наиболее подходящего преобразования ряды многократно преобразовываются, и чтобы не хранить лишнюю информацию (неудачные преобразования), их следует удалить. Для этого служит кнопка Delete highlighted variable (удалить высвеченные переменные). Если нам для проведения дальнейших исследований (возможно и в других модулях STATISTICA) необходимо сохранить некоторые преобразования, надо воспользоваться кнопкой Save variables (сохранить переменные).

В поле Number of backups per variable (число резервов для переменных) определяют число преобразований текущего диалога в информационной части окна Если число преобразований превысит указанное число, то система сделает запрос — сохранить ли очередное преобразование.

Кнопка Select cases (выбрать наблюдения) предназначена для выбора под множества случаев для анализа.

Кнопка OK (transformations, autocorrelations, plots) (преобразования, автокорреляции, графики) открывает специальное окно для преобразования ряда.

Остальные кнопки, расположенные в центре стартового окна, — функциональные, определяющие различные .методы (процедуры) анализа временных рядов.

• ARIMA & autocorrelation functions (модель авторегрессии и нроинтефиро-ванного скользящего среднего — сокращенно АРПСС).
• Interrupted time series analysis (анализ прерванных временных рядов или модели АРПСС с интервенцией).
• Exponential smoothing & forecasting (экспоненциальное сглаживание и прогнозирование).
• Seasonal decomposition (Census 1) (сезонная декомпозиция).
• Spectral (Fourier) analysis (спектральный (Фурье) анализ).
• XII/Y2k (Census 1) — montly (12-месячная сезонная корректировка).
• Quartenly (квартальная сезонная корректировка).
• Distributed Lags Analysis (анализ распределенных лагов).

 

Рис.2. Главное диалоговое окно

На вкладке Missing Data система предлагает различные возможности для заполнения пропущенных значений:

•   Overall mean — общее среднее.

•   Interpolation from adjacent points — интерполяция по соседним точкам.

•   Mean of N adjacent points — среднее по соседним точкам.

•   Median of Nadjacent points — медиана соседних точек.

•   Predicted values from linear trend regression — предсказанные значения с учетом линейной регрессии.

Прогнозирование временных рядов — и наука, и искусство, для того чтобы делать правильные (адекватные) прогнозы, необходимы знания и опыт. Надо строить прогнозы различными способами, сопоставлять результаты и только после этого выбирать ту наилучшую модель, которая наиболее правдоподобно прогнозирует ряд.

Рассмотрим прогнозирование при помощи модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего.

Рис.3.Окно настройки заполнения пустых значений

ARIMA & autocorrelation functions

Этот важный класс параметрических моделей, описывающих и нестационарные ряды, имеет большое практическое значение. В программе STATISTICA ARIMA реализована в методологии Бокса и Дженкинса. Большинство временных рядов, например в экономике, описываются моделью ARIMA — АРПСС. Модель может включать константу. Перед построением модели ряд можно подвергнуть преобразованию, которое автоматически будет отменено после построения прогноза по АРПСС, при этом предсказанные значения и их стандартные ошибки будут выражены через значения исходного (а не преобразованного) ряда. Уникальной особенностью модели АРПСС является способность анализировать модели с длинными периодами сезонности (с лагом до 30). Стандартный набор результатов содержит оценки параметров, стандартные ошибки и корреляции. Предсказанные значения могут быть представлены в числовой и графической форме и добавлены к исходному ряду. Имеются многочисленные дополнительные функции для исследования остатков модели АРПСС, в том числе большой набор графических средств.

Нажмите кнопку ARIMA & autocorrelation functions. Откроется диалоговое окно процедуры (рис. 18.2).

Анализ временного ряда начнем с графической иллюстрации ряда. Выберите вкладку Review Series (просмотреть серии). Верхняя часть окна — информационная, здесь записывается имя ряда и его преобразования.

Рис.4.Главное меню метода  ARIMA

В левой части окна в рамке Review and plot variables (просмотреть переменные и построить график) расположены следующие кнопки и опции:

•   Display/plot subset only — показать на экране / построить график только подмножества;

•   Review highlighted variables — просмотреть высвеченные переменные;

•   Review multiple variables — просмотреть несколько переменных.

•   Plot — график;

•   Plot two var list with different scales — графики переменных из двух списков в различных шкалах.

В правой части окна в рамке Label data points with (метки точек данных) расположены опции обозначений наблюдений на графике (Case names — имена наблюдений, Case numbers — номера наблюдений, Dates fmm a var — значения переменной, имя которой указывается при помощи кнопки Variable) и кнопки для построения различных типов вероятностных графиков.

Перед построением графиков необходимо выставить нужные обозначения шкал X и У. Для этого надо отметить нужные значения минимума (номер наблюдения, с которого строится график) и шага по шкале X в опции Scale Xaxis in plots manually (min, step), а также выбрать метку Case names (пометить именами наблюдений) для шкалы У в опциях Label data points with.

Далее с помощью кнопки Plot рядом с кнопкой Review highlighted variables (просмотр выделенной переменной) построим график ряда, который позволит произвести предварительную, визуальную оценку данных ряда.

 

Рис.5. Пример построения графика временного ряда

Для построения «качественного» прогноза уровни исследуемого показателя (в нашем случае объемы перевозок) обязательно должны быть сопоставимы и однородны, а для выявления тенденций, кроме этого, устойчивы и полны, т.е. количество наблюдений должно быть достаточно велико.

Сопоставимость предполагает формирование всех уровней по одной и той же методике, использование одинаковой единицы измерения и шага наблюдений.

Требование однородности данных предполагает отсутствие сильных изломов тенденций, а также нетипичных, аномальных наблюдений. При поиске тенденций бывает целесообразно отбросить часть прошлых данных, если они отражают уже утратившую силу закономерность прошлого развития. Наличие аномальных (резко выделяющихся) наблюдений приводит к искажению результатов. Формально она проявляется как сильный скачок (спад) с последующим приблизительным восстановлением предыдущего уровня.

Устойчивость характеризует преобладание закономерности над случайностью в изменении уровней ряда. На графиках устойчивых временных рядов даже визуально прослеживается закономерность, на графиках неустойчивых рядов изменения последовательных уровней представляются хаотичными, и поэтому поиск закономерностей в формировании значений уровней таких рядов лишен смысла.

Требование полноты данных обусловливается тем, что закономерность может быть обнаружена лишь при наличии минимально допустимого объема наблюдений.

 

Spectral (Fourier) analysis/ Спектральный анализ(Анализ Фурье)

Для нахождения такого рода периодичностей используйте спектральный анализ. Для этого воспользуйтесь диалогом Spectral (Fourier) analysis (Фурье, спектральный анализ). Появится одноименное диалоговое окно. Нажмите кнопку ОК (одномерный анализ Фурье). Откроется диалоговое окно с результатами анализа (рис.). Установите опцию Plot by (график) в положение Period (период) и нажмите кнопку Periodogram (периодограмма). Программа построит график.

В модуле Time Series/Forecasting реализовано два вида сезонной декомпозиции: классическая сезонная декомпозиция (Census I) и так называемый XII/Y2k (Census 1) — montly (12-месячная сезонная корректировка), разработанный в Бюро переписей США и максимально приближенный к стандартам, применяемым в США. Отличие последнего от классической сезонной декомпозиции заключается в том, что в нем производится корректировка на различные дни недели и на различное количество дней в месяце (месячная корректировка), а также на месяцы с экстремальными наблюдениями (квартальная корректировка).