Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Ідентифікація

Змн.

Арк.

№ докум.

Підпис

Дата

Арк.

АУВП-21-154.00.00.00.000 КП

Змн.

Арк.

№ докум.

Підпис

Дата

Арк.

АУВП-21-154.00.00.00.000 КП

Вступ

Моделювання можна розглядати як заміщення досліджуваного об'єкта (оригіналу) його умовним чином, описом чи іншим об'єктом, що називається моделлю і забезпечує адекватну з оригіналом поведінку в рамках деяких припущень і прийнятних похибок.

Маючи справу з системою, нам необхідна будь-яка схема співвідношення між собою, що характеризують систему змінних. В широкому розумінні ми будемо називати моделлю сукупність зв‘язків між сигналами, що спостерігаються. Очевидно, що моделі можуть приймати різноманітну форму і записуватись з різною степінню математичної деталізації. Вибір того рівня складності, який робить модель корисною, визначається запланованим використанням.

Конструювання моделей по даним спостережень включає три основні компоненти: дані, множина моделей, правило оцінки ступеня відповідності досліджуваної моделі даним спостережень.

Дані спостережень. Вхідні і вихідні дані іноді реєструються в процесі проведення цілеспрямованих ідентифікаційних експериментів, коли користувач може визначити перелік і моменти вимірювання сигналів, причому деякі з вхідних сигналів можуть бути керованими. Задача планування експериментів, таким чином, полягає в тому, щоб, враховуючи можливі обмеження, вибрати максимально інформативні дані про сигнали системи. В деяких випадках користувач не буде мати можливості впливати на хід експерименту і повинен спиратись на дані нормальної експлуатації.
Множина моделей. Множина моделей-кандидатів встановлюється за допомогою фіксації тієї групи моделей, в межах якої ми збираємось шукати найбільш підходящу. Саме на цьому етапі знання формальних властивостей моделі необхідно поєднати з апріорними знаннями, інженерним мистецтвом та інтуїцією. Множина моделей інколи стає результатом детального моделювання, після чого на основі правдивих знань формується модель, яка включає параметри з ще невизначеними значеннями. Інша можливість полягає в тому, щоб без всяких обґрунтувань використати стандартні моделі. Множина моделей, в яких параметр розглядається як змінні засоби під налаштування моделей до заданих даних і не відображають властивостей процесу, називаються чорним ящиком.
Визначення на основі даних спостережень найкращої моделі множини. Ця частина власне і є методом ідентифікації. Оцінка якості моделі пов’язана з вивченням поведінки моделей в процесі їх використання для відтворювання даних вимірювань.

Залишається перевірити, чи модель достатньо добре виконує своє призначення. Такі перевірки називаються процедурами підтвердження моделей. До них відносяться різні процедури оцінювання відповідності моделей даним спостереження, апріорній інформації і поставленій прикладній задачі. Незадовільна поведінка моделі по кожному з цих компонентів заставляє нас відмовитись від моделі, тоді як добре її функціонування створює певну ступінь довіри до моделі. Модель ніколи не можна вважати істинним описом системи. Її можна розглядати як спосіб досить доброго опису тих аспектів поведінки системи, які являють для нас найбільший інтерес.

Процедура ідентифікації системи породжує наступну логіку дій:

Зібрати дані.
Вибрати множину моделей.
Вибрати найкращу модель з множини моделей.

Однак цілком можливо, що перша із знайдених моделей не витримає перевірки на етапі підтвердження. Тоді потрібно повернутися і переглянути різні кроки процедури.

Існує декілька причин недосконалості моделей:

Чисельний метод не дозволяє знайти найкращу по вибраному критерію модель;
Критерій вибрано невдало;
Множина моделей виявилась неповноцінною в тому значенні, що вони не можуть достатньо добре описати систему;
Множина даних спостережень не була достатньо інформативною для того, щоб забезпечити вибір хорошої моделі.

По суті, головним в прикладних задачах ідентифікації є ітераційне вирішення всіх цих питань, особливо третього, на основі апріорної інформації і результатів попередніх спроб. Очевидно, що важливим інструментальним засобом рішення цієї ітераційної задачі є діалогове програмне забезпечення.

РОЗДІЛ 1. Обробка вхідного сигналу U(t), знаходження апроксимуючої функції та вибір оптимальної моделі

Табулювання сигналу

Опишемо процес виконання обробки сигналів функції, заданої в завданні.

1. За допомогою функції imread завантажуємо фрагмент зображення і присвоюємо його до відповідної змінної. Потім задаємо координатну площину, відповідно до завдання, в якій буде проходити табулювання. Оскільки Matlab будує вісь ординат зверху до низу, для того щоб вирахувати достовірні координати необхідно початок вісі позначити від’ємним значенням, яке прямує до нуля. Далі за допомогою функції image накладаємо координатну сітку на малюнок. За допомогою функції getline виконуємо табулювання (дана функція дозволяє вибрати ламану лінію в поточному вікні зображення за допомогою мишки).

Нижче наведено лістинг програмного модуля в середовищі Matlab:

>> im_zd=imread('wt1.jpg');

imshow(im_zd);

im_ut=imcrop(im_zd);

imshow(im_ut);

x=[0 150];

y=[-2 0];

image(im_ut,'XData',x,'YData',y);

[x, y]=getline

2. Після виконання табулювання ми отримаємо значення координат крайніх точок характеристики випадкового процесу. Оскільки вісь ординат ми позначали починаючи з від’ємного значення, всі координати по даній вісі будуть від’ємними. Для того щоб забрати від’ємній знак, матрицю значень по вісі ординат ставимо по модулю.

Нижче наведено лістинг програмного модуля в середовищі Matlab:

>>y=abs(y);

Після чого ми отримаємо дві матриці даних: матриця даних зміни часу – x(t) та матриця даних зміни значення сигналу залежно від часу – y(ut).

Таблиця 1

Табулювання вхідного сигналу U(t)

Номер точки	Сигнал U(t)		Номер точки	Сигнал U(t)
Номер точки	t	U(t)	Номер точки	t	U(t)
1	10,2258346	0,85216792	11	21,92957786	1,262985498
2	11,1675151	1,18829139	12	24,08199042	1,091811505
3	12,2437213	1,25676099	13	25,69629984	1,076250233
4	13,3199276	1,40303695	14	26,77250612	0,87706595
5	14,3961339	0,89573948	15	27,71418661	1,216301682
6	15,606866	0,70900421	16	30,13565074	0,976658092
7	16,4140207	1,35946539	17	32,15353751	1,017117399
8	18,8354848	0,80859635	18	33,22974379	0,864616933
9	19,9116911	0,91752526	19	34,17142429	1,185179138
10	21,2569489	0,85839242	20	35,51668213	1,312781569

Продовження таблиці 1

Номер точки	Сигнал U(t)		Номер точки	Сигнал U(t)
Номер точки	t	U(t)	Номер точки	t	U(t)
21	36,4583626	1,53375163	52	74,26010818	1,073137979
22	38,6107752	0,87706595	53	75,33631446	0,727677738
23	39,956033	1,06380122	54	76,41252074	1,182066883
24	40,8977135	0,83660664	55	77,62325281	0,982882601
25	41,9739198	0,90818849	56	78,43040751	1,157168848
26	43,3191777	0,90196399	57	79,91019115	0,929974276
27	44,2608582	0,85528017	58	82,06260371	1,238087463
28	45,3370644	1,09492376	59	83,0042842	0,63742236
29	46,5477965	0,8054841	60	84,48406783	0,659208141
30	47,6240028	1,16650561	61	85,29122254	0,659208141
31	48,7002091	1,20696492	62	86,23290304	1,185179138
32	49,6418895	1,24119972	63	87,57816089	1,104260523
33	50,9871474	1,02956642	64	88,3853156	0,895739477
34	52,1978795	1,1602811	65	89,73057345	1,325230587
35	53,13956	1,38436342	66	92,01751179	0,72145323
36	54,2157662	1,04201543	67	93,09371807	0,814820862
37	55,2919725	0,99533162	68	94,03539856	0,752575774
38	56,5027046	1,38747568	69	95,24613063	1,219413937
39	57,7134366	0,51915669	70	96,32233691	0,914413003
40	59,8658492	1,52752712	71	97,2640174	0,793035081
41	61,0765813	0,93931104	72	98,74380103	0,914413003
42	61,7492102	0,90507624	73	99,68548153	0,867729187
43	63,094468	0,78681057	74	100,8962136	1,197628156
44	64,1706743	1,18517914	75	101,8378941	1,119821795
45	65,3814064	0,62186109	76	103,0486261	1,09492376
46	67,6683447	1,14471983	77	103,8557809	1,116709541
47	68,4754994	1,03890318	78	105,6046161	1,017117399
48	69,6862315	1,15405659	79	106,277245	0,85528017
49	70,8969636	1,05757671	80	107,4879771	1,129158558
50	71,8386441	1,16650561	81	108,4296575	0,886402714
51	73,0493761	0,78369832	82	109,6403896	0,811708608

Продовження таблиці 1

Номер точки	Сигнал U(t)		Номер точки	Сигнал U(t)
Номер точки	t	U(t)	Номер точки	t	U(t)
83	110,851122	0,81170861	97	127,2632674	1,206964919
84	111,792802	1,21630168	98	128,6085253	0,864616933
85	112,734483	1,23186295	99	130,7609378	1,309669315
86	114,214266	0,6685449	100	131,8371441	1,001556127
87	115,155947	1,02022965	101	133,0478762	0,873953696
88	116,366679	1,07625023	102	133,9895567	1,421710474
89	117,442885	0,91752526	103	135,2002887	0,998443873
90	118,653617	1,17584237	104	136,276495	1,12293405
91	119,729823	1,06691347	105	137,3527013	0,870841442
92	122,016762	0,92063751	106	138,4289076	1,051352198
93	122,958442	1,16961787	107	138,4289076	1,091811505
94	124,034649	1,20385266	108	139,3705881	1,129158558
95	125,245381	1,10737278	109	140,5813201	1,03890318
96	126,321587	0,97977035	110	141,5230006	1,09492376

1.2 Побудова моделі за допомогою поліноміальної інтерполяції поліномом 7-го степеня

Для апроксимації сигналів по відомим вхідним та вихідним параметрам використовують метод найменших квадратів. В даному випадку рівняння апроксимуючої функції буде:

де – невідомі коефіцієнти.

Запишемо умову метода найменших квадратів:

тобто

Продиференціювавши даний вираз по і прирівнявши його до нуля розв’язуємо слідкуючу систему рівнянь:

Використовуючи математичний пакет Matlab, виконаємо розрахунок. Нижче наведено лістинг програмного модуля:

clear;

load wt1.mat;

for i=1:8;

for j=1:8;

A(i,j)=sum(x.^(i+j-2));

end;

for i=1:8;

B(i)=sum(x.^(i-1).*y);

end;

a=B/A;

t=1:150;

f=a(8)*t.^7+a(7)*t.^6+a(6)*t.^5+a(5)*t.^4+a(4)*t.^3+a(3)*t.^2+a(2)*t+a(1);

hPlot=plot(t,f);

hold on;

plot(x,y,'red');

xlabel('t')

ylabel('U(t)')

axis([0,150,-0.2,2.2]);

set (hPlot,'LineWidth',2);

Розв’язавши систему, отримаємо такі значення коефіцієнтів:

a₀ = 1,29151435944999;

a₁ =-0,0272224047072026;

a₂ =0,000865020069750201;

a₃ = -4,08236935634828e-06;

a₄ =-2,21522202872908e-07;

a₅ =3,80702250957075e-09;

a₆ =-2,28826295649309e-11 ;

a₇ =4,78851337798592e-14.

Нижче наведемо графічну модель (рис. 1.1):

Рис. 1.1 - Поліноміальна модель вхідного сигналу U(t) поліномом n-го порядку

1.3 Побудова моделі за допомогою полінома Чебишева

За методом найменших квадратів рівняння апроксимуючої функції для полінома Чебишева буде мати вигляд:

де – невідомі коефіцієнти.

Запишемо умову метода найменших квадратів:

тобто

Продиференціювавши даний вираз по і прирівнявши його до нуля розв’язуємо слідуючу систему рівнянь:

В системі функції вибрані таким чином:

В даних виразах коефіцієнти визначаються за формулами:

Використовуючи математичний пакет Matlab, виконаємо розрахунок. Нижче наведено лістинг програмного модуля:

clear;

load wt1.mat;

Cheb_por=7;

n=110;

fi=ones(n,7);

for i=1:n

fi(i,2)=x(i)-(1/n)*sum(x);

end;

for p=3:Cheb_por;i=1:n;

beta(p)=-sum(x(i).*fi(i,p-1).^2)/sum(fi(i,p-1).^2);

gama(p)=-sum(x(i).*fi(i,p-1).*fi(i,p-2))/sum(fi(i,p-1).^2);

fi(i,p)=(x(i)+beta(p)).*fi(i,p-1)+gama(p).*fi(i,p-2);

end;

A=fi'*fi;

B=fi'*y;

a=A\B;

for i=1:n;j=1:7;

Cheb(i)=a(j)'*fi(i,j)';

end;

hPlot=plot(x,Cheb);

hold on;

plot(x,y,'red');

xlabel('t');

ylabel('U(t)');

set(hPlot,'LineWidth',2);

Розв’язавши систему, такі значення коефіцієнтів:

a₁= 0,974882715534506;

a₂=-0,00347405766549091 ;

a₃=7,36966019328142e-05;

a₄=2,76744747005052e-06;

a₅=-2,26238197448055e-08;

a₆=-4,75654175893397e-10;

a₇=2,57745717420492e-12.

На рис. 1.2 наведена модель вхідного сигналу U(t), побудована поліномом Чебишева.

Рис. 1.2 - Модель вхідного сигналу U(t), побудована поліномом Чебишева

1.4 Побудова моделі за допомогою перетворення Фур’є

Наведемо коротку характеристику перетворень Фур’є.

Вираз виду:

називаються тригонометричними поліномами (ступеня π). Виявляється, що будь-яка безперервна (і не тільки безперервна) функція на проміжку (-π,π) може бути апроксимована з попередньо заданою точністю тригонометричними поліномами з відповідними коефіцієнтами a₀ ,…,a_n, та b₀ ,…, b_n.

Лінійні комбінації функцій виду і також називають тригонометричними поліномами, мають період 2πТ. Тому можна так переформулювати наше твердження: будь-яка періодична функція може бути апроксимована тригонометричними поліномами.

Припустимо, що значення функції f(x), виміряються в деякому експерименті й за даними y_1,…,y_m нам вдалося чисельно оцінити коефіцієнти Фур'є функції f(x).

Часто виявляється, що функція:

Тоді для знаходження коефіцієнтів Фур’є використовується наступний метод. Нехай функція , що має період , представлена рядом Фур’є:

Якщо формально помножити дану рівність на або і почленно проінтегрувати від до , то зайві гармоніки зникнуть і отримаємо формулу для коефіцієнтів:

В нашому випадку рівняння апроксимуючої лінії буде:

де m =7.

Запишемо формули для розрахунку коефіцієнтів:

Використовуючи математичний пакет Matlab, виконаємо розрахунок. Нижче наведено лістинг програмного модуля:

>> clear;

>> load wt1.mat;

>> n=110;

>> Fur_por=4;

>> m=Fur_por;

>> for k=1:m+1

A=(1/n)*sum(y);

B(k)=(2/n)*sum(y.*cos(k*x));

C(k)=(2/n)*sum(y.*sin(k*x));

end

>> for k=1:m+1

for i=1:n

FS(i,1)=A+sum(B(k)*sin(k*x(i))+C(k)*cos(k*x(i)));

end

>> plot(x,y,'red')

>> hold on;

>> hPlot=plot(x,FS);

>> xlabel('t')

>> ylabel('U(t)')

>> axis([0,150,-0.2,2.2]);

>> set(hPlot,'LineWidth',2);

Розв’язавши систему, отримаємо таку модель:

Рис. 1.3 - Модель вхідного сигналу U(t), побудована за допомогою перетворення Фур’є

і такі значення коефіцієнтів:

1.5 Статистична обробка даних

Розрахуємо коефіцієнти дисперсії, кореляції та коваріації.

Визначимо коефіцієнти дисперсії значень часу та функції, за такими формулами:

Коефіцієнт коваріації за такою формулою:

Коефіцієнт кореляції за такою формулою:

Використовуючи математичний пакет Matlab, виконаємо розрахунок і нижче наведено лістинг програмного модуля:

>> clear;

>> load wt1.mat;

>> n=110;

>> i=1:n;

>> tser=sum(x)/n;

>> fser=sum(y)/n;

>> cov=sum((x-tser).*(y-fser))/(n-1)

>> Dt=sum((x-tser).^2)/(n-1);

>> Du=sum((y-fser).^2)/(n-1)

>> r=cov/sqrt(Dt*Du)

Після виконаного розрахунку отримаємо:

cov = -0.2308;

Dt =1.4933e+003;

Du = 0.0414;

r = -0.0294.

1.6 Знаходження періодограми сигналів

Періодограма сигналу – це оцінка спектральної щільності потужності (СЩП) сигналу по певній кількості відліків реалізації випадкового процесу, заснована на обчисленні квадрата модуля перетворення Фур'є послідовності даних з використанням статистичного усереднення:

де X_T (iω) – перетворення Фур'є функції x(t) на кінцевому часовому інтервалі, T_r –інтервал фінітності, E – оператор статистичного усереднення (математичне очікування).

Слід зауважити, що дане співвідношення виконується тільки при нескінченному числі використовуваних відрахунків, тому при будь-якому кінцевому N періодограмна оцінка спектральної щільності потужності виявляється зміщеною – виходить, що всередині суми співвідношення кореляційна функція сигналу множиться на трикутну вагову функцію.

Для побудови періодограми сигналу розрахуємо середній спектр потужності , що розраховується за такими залежностями:

де n – загальна кількість точок.

Використовуючи математичний пакет Matlab, виконаємо розрахунок і побудуємо періодограму.

Нижче наведено лістинг програмного модуля:

>> clear;

>> load matlabwt1_1.mat;

>> n=106;

>> for k=1:n

w(k,1)=(2*pi*(k))/n;

U(k,1)=(1/sqrt(n))*sum(y.*exp(-j*w(k).*x));

end

>> Ui=imag(U);

>> Ur=real(U);

>> subplot(1,2,1);

>> plot(w,Ui);

>> title('a)');

>> xlabel('Нормована частота(Гц)');

>> ylabel('Спектр щільності(Дб/Гц)');

>> grid on

>> subplot(1,2,2);

>> plot(w,Ur);

>> title('б)');

>> xlabel('Нормована частота(Гц)');

>> ylabel('Спектр щільності(Дб/Гц)');

>> grid on

Рис. 1.4 - Періодограма вхідного сигналу U(t), де а) – уявна частина,

б) – дійсна частина

1.7 Вибір оптимальної моделі

Оптимальна модель вибирається згідно критерію, що відповідає похибці побудови моделі до вихідної характеристики в співвідношенні до кількості аналізованих даних:

Використовуючи математичний пакет Matlab, виконаємо розрахунок і запишемо результати до таблиці 5.2.

Нижче наведено лістинг програмного модуля:

for i=1:a;n=104;

Spol_Vt=sqrt(sum((y(i)-f(i)).^2/(n-2)))

end;

SCheb_Ut=sqrt((sum(y-Cheb').^2)/(n-2))

SFur_Ut=sqrt((sum(y-FS).^2)/(n-2))

Таблиця 1.2

Оптимальні значення моделей

Вид функції	Поліном	Поліном Чебишева	Функція Фур’є
Значення критерію	0.0397	3.5254e-016	0.0109

Як видно з таблиці 1.2, значення критерію мінімальне у тому випадку, коли апроксимуючою функцією виступає поліном Чебишева, отже модель побудована даним чином буде оптимальною.

Розділ 2. Обробка вхідного сигналу V(t), знаходження апроксимуючої функції та вибір оптимальної моделі

2.1 Табулювання сигналу

Табулювання графіка функції (сигналу) проводимо тим же способом як і для вхідного сигналу U(t), що описаний в другому розділі.

Після того як ми отримаємо дві матриці даних: матриця даних зміни часу – xt та матриця даних зміни значення сигналу залежно від часу – y(vt), складемо таблицю табулювання.

Таблиця 2.1

Табулювання вхідного сигналу V(t)

Номер точки	Сигнал V(t)		Номер точки	Сигнал V(t)
Номер точки	t	V(t)	Номер точки	t	V(t)
1	4,30220687	1,2786299	15	24,75142581	0,954858844
2	5,51301588	0,66844599	16	25,55863182	0,830331516
3	6,58929056	1,11363119	17	26,76944084	1,449854971
4	7,80009958	0,49099455	18	27,98024986	0,627974609
5	10,2217176	1,61796686	19	29,05652454	0,914387462
6	12,5088013	1,08249935	20	30,53640222	0,802312867
7	13,7196103	0,98599068	21	31,61267691	0,936179745
8	14,6613507	1,17589485	22	32,82348592	0,886368813
9	15,8721597	1,37825176	23	33,8997606	1,194573949
10	17,217503	1,08872572	24	35,24510396	0,780520585
11	18,6973807	1,51211864	25	36,32137864	0,839671066
12	20,7153958	0,5003341	26	38,60846234	1,368912208
13	22,4643421	0,889482	27	39,95380569	0,543918662
14	23,2715481	1,01400932	28	41,03008037	1,586835032

Продовження таблиці 2.1

Номер точки	Сигнал V(t)		Номер точки	Сигнал V(t)
Номер точки	t	V(t)	Номер точки	t	V(t)
29	42,3754237	0,82410515	58	78,16155688	1,166555301
30	43,3171641	1,26306398	59	79,10329722	0,805426051
31	45,7387821	1,45608134	60	80,44864057	1,428062689
32	47,0841255	0,93617974	61	81,65944959	1,082499355
33	48,1604001	1,07938617	62	83,94653329	1,163442118
34	49,5057435	1,02957524	63	86,23361699	1,505892269
35	50,8510868	0,90193473	64	88,65523502	0,571937311
36	51,6582928	1,15721575	65	89,59697537	1,350233109
37	52,6000332	1,18212122	66	91,07685305	0,8147656
38	54,0799109	0,97353794	67	92,15312773	1,418723139
39	55,4252542	1,1291971	68	92,82579941	1,113631187
40	56,5015289	1,82966332	69	93,36393675	0,911274279
41	57,8468723	1,07938617	70	94,44021143	1,46853407
42	58,9231469	1,26306398	71	95,92008912	0,830331516
43	60,2684903	0,93929293	72	96,72729513	0,749388753
44	61,2102306	0,92684019	73	98,20717282	1,34089356
45	62,4210397	0,98599068	74	99,2834475	0,684011906
46	63,766383	1,23193215	75	100,6287909	1,275516712
47	65,2462607	0,76495467	76	101,7050655	1,194573949
48	66,0534667	0,53457911	77	102,7813402	1,026462057
49	67,2642757	1,08872572	78	104,2612179	0,976651126
50	68,2060161	0,96108521	79	105,2029582	1,670890978
51	69,6858938	1,15098938	80	106,5483016	0,973537943
52	70,7621684	1,10117845	81	107,893645	1,020235691
53	72,1075118	1,27551671	82	109,104454	0,799199684
54	72,9147178	1,33778038	83	111,3915377	0,917500645
55	74,5291298	0,68712509	84	112,333278	1,574382299
56	75,7399388	0,64042734	85	113,6786214	0,942406111
57	76,8162135	1,21325305	86	114,8894304	0,877029264

Ідентифікація 📙 Курсовая → 🆔 99820