Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Исследование и решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет информационных технологий

Кафедра программного обеспечения вычислительной техники

и автоматизированных систем

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Численные методы»:

Исследование и решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

ОГУ 231000.62.5012.129 ПЗ

Руководитель проекта

______________Тишина Н.А.

«__»____________________2012г.

Исполнитель

студент гр.11Пинж(б)РПИС

______________ Лапшин А.А.

«__»____________________2012г.

Оренбург 2012

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет информационных технологий

Кафедра программного обеспечения вычислительной техники

и автоматизированных систем

Задание на курсовую работу

Исследование и решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Реализовать один из методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Входные данные: ввод с клавиатуры координат начальной точки и шага.

Дата выдачи задания “___ ”____________2012г.

Руководитель Тишина Н.А.

Исполнитель

Студент группы 11ПИНЖ(б)РПИС Лапшин А.А.

Срок защиты работы “___”______________2012г.

Оренбург 2012

Содержание

	Введение…………………………………………………………….....	4
1 2	Постановка задачи…………………………………………………..... Теоретические предпосылки…………………………………………	5 7
3	Тестирование………………………………………………………….	11
4	Блок схема……………………………………………………………..	14
	Приложение А Текст программы…………………………………...	16

Введение

Курсовая работа написана на языке программирования C++, с использованием стандартного модуля “math.h”, в котором собраны математические функции, необходимые для функционирования программы, дополнительного модуля “graphics.h”, необходимого для построения графика, и модуля “iomanip.h”, отвечающего за форматированный ввод файлового потока.

Программа начинает свое действие с ввода первоначальных данных, а точнее с ввода координат начальных точек и шага.

Работа продолжается после нажатия любой клавиши. Выполняется расчет первых 2 точек методом Рунге-Кутта 4 порядка и координаты точек передаются в неявный метод Адамса 3 порядка. Вычисляются первые 400 точек и строятся графики функций r(t) и f(t). Клавиша Enter является сигналом для продолжения вычислений, после нажатия которой вычисляются следующие 400 точек и строятся графики.

Выход осуществляется посредством нажатия клавиши Esc, после нажатия которой, все найденные координаты записываются в файл Результат.txt.

Постановка задания

Изучить метод Адамса для решения обыкновенных дифференциальных

уравнений, выполнить его программную реализацию.

Рассмотрим простую экосистему, состоящую из кроликов, для которых имеется неограниченный запас пищи, и лис, которые для пропитания охотятся за кроликами. Классическая математическая модель, принадлежащая Вольтерра, описывает эту систему двумя нелинейными уравнениями первого порядка:

dr/dt = 2r -αrf, r (0) = r₀,

df/dt=-f + αrf, f(0) = f₀.

Здесь t-время, r = r (t) - число кроликов, f = f(t)- число лис и α - положительная константа. При α = 0 две популяции не взаимодействуют, и кролики делают то, что у кроликов получается лучше всего, а лисы вымирают от голода. При α > 0 лисы встречают кроликов с вероятностью, пропорциональной произведению числа тех и других. В результате таких встреч число кроликов убывает, а число лис (по менее очевидным причинам) возрастает.

Исследуйте поведение этой системы для α = 0.01 и различных значений r₀ и f₀, простирающихся от 2 или 3 до нескольких тысяч. Нарисуйте графики наиболее интересных решений. Начертите также график с осями r и f. Поскольку мы умалчиваем о единицах измерения, нет причин ограничивать r и f только целыми значениями.

(а) Вычислите решение для r₀ = 300 и f₀ = 150. Вы должны обнаружить, что поведение системы периодично с периодом, очень близким к 5 единицам времени. Иными словами, r(0) ≈ r(5) и f (0) ≈ f(5).

(б) Вычислите решение для r₀ = 15 и f₀ = 22. Вы должны получить, что число кроликов в конечном счете становится меньше 1. Это можно интерпретировать так, что кролики вымирают. Найдите начальные условия, которые обрекают на вымирание лис. Найдите начальные условия с r₀ = f₀, при которых вымирают оба вида.

(в) Может ли какая-либо компонента точного решения стать отрицательной? Может ли стать отрицательным численное решение? Что произойдет в этом случае? (На практике ответы на последние два вопроса могут зависеть от заданных вами границ погрешностей.)

Теоретические предпосылки

Дифференциальные уравнения и методы их решения

Многие инженерные задачи приводят к необходимости поиска решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих определенным условиям. Однако получить точное решение дифференциального уравнения удается лишь в отдельных случаях, но даже при этом часто получают выражение, содержащее искомую функцию в неявном виде, что затрудняет ее использование. Поэтому в данной работе рассматривается один из способов решение дифференциальных уравнений – метод Адамса.

Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике.

Методы их решения подразделяются на два класса:

аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций;
численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их численных значений.

Применение аналитических методов позволяет исследовать полученные решения методами математического анализа и сделать соответствующие выводы о свойствах моделируемого явления или процесса. К сожалению, с помощью таких методов можно решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение практически любой задачи.

Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенными дифференциальными уравнениями описывают задачи движения системы взаимодействующих материальных точек, сопротивление материалов и многое другое. Ряд важных задач для уравнений в частных производных также сводятся к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, решение обыкновенных дифференциальных уравнений занимает важное место среди прикладных задач физики, химии, техники.

Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка или системе уравнений любого порядка. Однако обыкновенные дифференциальные уравнения n-го порядка можно с помощью замены свести к эквивалентной системе n уравнений первого порядка.

Различают три основных типа задач для решения обыкновенных дифференциальных уравнений: задачи Коши, краевые задачи и задачи на собственные значения. В этой курсовой работе будут рассматриваться методы решения задач Коши.

Пусть задано дифференциальное уравнение первого порядка в виде

(1.1)

и начальное условие

(1.2)

Задача Коши состоит в том, чтобы найти функцию

являющуюся решением уравнения (1.1) и удовлетворяющую условию (1.2).

методы решения можно условно разбить на точные, приближенные и численные. К точным относятся методы, с помощью которых можно выразить решение дифференциального уравнения через элементарные функции. Приближенные методы – это методы, в которых решение получается как придел некоторой последовательности. Численные методы – это алгоритмы вычисления приближенных значений искомого решения на некоторой выбранной сетке значений аргумента. Решение при этом получается в виде таблицы.

Метод Адамса для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Этот метод разработан Адамсом в 1855 г. по просьбе известного английского артиллериста Башфорта, занимавшегося внешней баллистикой. Впоследствии этот метод был забыт и вновь открыт в начале века норвежским математиком Штермером.

Пусть для задачи Коши найдены каким-либо способом (например, методом Эйлера или Рунге-Кутта) три последовательных значения искомой функции,

где h – шаг изменения .

Вычислим величины

Метод Адамса позволяет найти решение задачи, то есть функцию в виде таблицы. Продолжение вычисленный функции из четырех точек осуществляется по экстраполяционной формуле Адамса, в данном случае 3 порядка:

(1.3)

затем уточнение проводится по интерполяционной формуле Адамса 3 порядка:

(1.4)

Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений.

Анализ погрешности метода Адамса

Из теории приближенных методов известно, что при шаге интегрирования h имеет место оценка

так что погрешность одного шага вычислений имеет порядок . Суммарная погрешность за n шагов будет порядка . Отсюда, если увеличить n в два раза. То погрешность уменьшиться примерно в 16 раз. Поэтому для оценки приближенного решения , полученного с шагом h, повторяют вычисление с шагом 2h и за абсолютную погрешность принимают число

где – приближенное решение с шагом 2h.

Приведенная оценка является оценкой метода и не учитывает погрешность при округлении.

Тестирование

Программа протестирована на различных наборах входных данных.

Первый пункт задания: r₀=300, f₀=150, a=0.01, t=0, t=t+h, h=0.1

Рисунок 1 Таблица значений r и f

Рисунок 2 График r(t) и f(t)

Было подтверждено периодичность системы с периодом. То есть r(t)≈r(t+const) и f(t)≈f(t+const)

Пример 2: r₀=20, f₀=30, h=0.1

Рисунок 3 Таблица значений r и f

Рисунок 4 - График r(t) и f(t)

Пример 3: r₀=40, f₀=3, h=0.01

Рисунок 5 Таблица значений r и f

Рисунок 6 График r(t) и f(t)

При r₀=15, f₀=22, h=0.1, a=0.01 наблюдается падение r, то есть r принимает значения меньше 1. Это говорит о том, что жертва, в данном случае кролик, вымирает. При r₀=2, f₀=3, а=0.01, h=0.1 наблюдается обратная ситуация.

Не исключено, что компонента может принять отрицательное значение.

Погрешность вычислений определяется по формуле Δy=1/15*|y_i-y_h|, где y_i значение вычисленное с шагом h, а y_h значение вычисленное с шагом 2h.

Блок-схемы

Рисунок 7 Основная функция main()

Рисунок 8 Функция p_dr (int i,double *r,double *f,double a)

Рисунок 9 Функция ratio_f (int i,double *r, double *f,double a,double h)

Приложение А

Текст программы

#include <iostream>

#include <conio.h>

#include <fstream>

#include <math.h>

#include <windows.h>

#include <graphics.h>

#include <iomanip.h>

#define eps 0.001

using namespace std;

double func_dr (double r, double f,double a);

double func_df (double r, double f,double a);

double ratio_r (int i,double *r, double *f,double a,double h);

double ratio_f (int i,double *r, double *f,double a,double h);

double p_dr (int i,double *r,double *f,double a);

double p_df (int i,double *r,double *f,double a);

double u_dr (int i,double *r,double *f,double a);

double u_df (int i,double *r,double *f,double a);

void graphik (int i,int key,double *r, double *f);

void file_write (int step,double *r,double *f);

//_________________________________________________//

//_______________Запись в файл____________________//

void file_write (int step,double *r,double *f) {

ofstream file("Результат.txt");

int k=0,i=0,b=0;

while (i<step) {

k=0;

file<<"_______________________________";

file<<"____________________________"<<endl;

b=0;

while (b<5) {

file<<"|"<<setw(8)<<"r"<<"|"<<setw(8)<<"f";

b++;

}

file<<endl<<"_______________________________";

file<<"_______________________________";

file<<"___________________________"<<endl;

while (k<41) {

file<<"|"<<setw(8)<<r[i]<<"|"<<setw(8)<<f[i];

file<<"|"<<setw(8)<<r[i+40]<<"|"<<setw(8)<<f[i+40];

file<<"|"<<setw(8)<<r[i+80]<<"|"<<setw(8)<<f[i+80];

file<<"|"<<setw(8)<<r[i+120]<<"|"<<setw(8)<<f[i+120];

file<<"|"<<setw(8)<<r[i+160]<<"|"<<setw(8)<<f[i+160]<<endl;

k++;

i++;

}

i+=160;

}

file.close();

}

//_________________________________________________//

//_______________График____________________________//

void graphik (int i,int key,double *r, double *f) {

int m=30,j=0,n=28;

setcolor(15);

setbkcolor(15);

bar(0,0,1000,200);

moveto(30,20);

setcolor(0);

lineto(30,150);

lineto(830,150);

setcolor(2);

line(5,25,12,25);

setcolor(12);

line(5,35,12,35);

setcolor(0);

outtextxy(13,16,"r(t)");

outtextxy(13,30,"f(t)");

outtextxy(28,151,"t0");

outtextxy(825,151,"t");

// setbkcolor(15);

while (j<key) {

m+=2;

n+=2;

setcolor(2);

// outtextxy(m,450-r[i],".");

moveto(n,150-r[i]/10);

lineto(m,150-r[i+1]/10);

setcolor(12);

// outtextxy(m,450-f[i],".");

moveto(n,150-f[i]/10);

lineto(m,150-f[i+1]/10);

j++;

i++;

}

//_________________________________________________//

//_______________Функция I____________________//

double func_dr (double r, double f,double a) {

return (2 * r - a * r * f);

}

//_________________________________________________//

//_______________Функция II____________________//

double func_df (double r, double f,double a) {

return (- f + a * r * f);

}

//_________________________________________________//

//_______________Коэффициенты для I________________//

double ratio_r (int i,double *r, double *f,double a,double h) {

double k1,k2,k3,k4;

k1=func_dr (r[i],f[i],a);

k2=func_dr (r[i]+(h/2),(f[i]+h/2*k1),a);

k3=func_dr (r[i]+(h/2),(f[i]+h/2*k2),a);

k4=func_dr ((r[i]+h),(f[i]+h*k3),a);

return ((h/6)*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4));

}

//_________________________________________________//

//_______________Коэффициенты для II_______________//

double ratio_f (int i,double *r, double *f,double a,double h) {

double k1,k2,k3,k4;

k1=func_df (r[i],f[i],a);

k2=func_df (r[i]+(h/2),(f[i]+h/2*k1),a);

k3=func_df (r[i]+(h/2),(f[i]+h/2*k2),a);

k4=func_df ((r[i]+h),(f[i]+h*k3),a);

return ((h/6)*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4));

}

//_________________________________________________//

//_______________ Функция экстраполяционная I ________________//

double p_dr (int i,double *r,double *f,double a) {

return ((23*func_dr(r[i],f[i],a)-16*func_dr(r[i-1],f[i-1],a)+5*func_dr(r[i-2],f[i-2],a))/12);

}

//_________________________________________________//

//_______________Функция экстраполяционная II________________//

double p_df (int i,double *r,double *f,double a) {

return ((23*func_df(r[i],f[i],a)-16*func_df(r[i-1],f[i-1],a)+5*func_df(r[i-2],f[i-2],a))/12);

}

//_______________ Функция интерполяционная I __________________________________//

//_______________________________//

double u_dr (int i,double *r,double *f,double a) {

return ((5*func_dr(r[i+1],f[i+1],a)+8*func_dr(r[i],f[i],a)-2*func_dr(r[i-1],f[i-1],a))/12);

}

//_________________________________________________//

//_______________Функция интерполяционная II_______________//

double u_df (int i,double *r,double *f,double a) {

return ((5*func_df(r[i+1],f[i+1],a)+8*func_df(r[i],f[i],a)-2*func_df(r[i-1],f[i-1],a))/12);

}

//_________________________________________________//

//_______________Основная функция__________________//

int main() {

setlocale(LC_CTYPE, "Russian");

double a=0.01,h=0.1,k1,k2,k3,k4,tmp1,tmp2;

double r[10000], f[10000],_r,_f,t=0;

cout<<"//_______________Модель хищник-жертва________________//\n";

cout<<"//______Ввод начальных данных(решение задачи Коши)___//\n";

cout<<"В данный момент времени:";

cout<<"\nR(t0) = "; cin>>r[0];

cout<<"\nF(t0) = "; cin>>f[0];

cout<<"\nШаг H = "; cin>>h;

cout<<"\nКоэффициент а= "; cin>>a;

cout<<"\nРасчет будет происходить по нажатию Enter (Esc - выход)";

cout<<"\nЧтобы продолжить нажмите любую клавишу";

_getch();

//________Первые 2 точки методом Рунге-Кутта 4 порядка

int i=0;

while (i<2) {

_r=ratio_r (i,r,f,a,h);

_f=ratio_f (i,r,f,a,h);

r[i+1]=r[i]+_r;;

f[i+1]=f[i]+_f;

i++;

}

i=2;

//_______Метод Адамса

int ch,step=0;

initwindow(1000,200);

while (ch=13) {

step+=400;

while (i<step) {

r[i+1]=r[i]+h*p_dr(i,r,f,a);

f[i+1]=f[i]+h*p_df(i,r,f,a);

tmp1=r[i]+h*u_dr(i,r,f,a);

tmp2=f[i]+h*u_df(i,r,f,a);

r[i+1]=tmp1;

f[i+1]=tmp2;

i++;

}

graphik (i-400,400,r,f);

up: ch=_getch();

if (ch!=13) {

if (ch=27) break;

goto up;

}

//______Запись

file_write (step,r,f);

system("notepad.exe Результат.txt");

cout<<endl;

system("pause");

return 0;

}

Исследование и решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 📙 Курсовая → 🆔 95864