Даны координаты точек А, В, С. A(-1; -3; 5) B(3; -1; 1) C(0; -4;

Даны координаты точек А, В, С. A(-1; -3; 5) B(3; -1; 1) C(0; -4; 1) Требуется: 1. Составить канонические уравнения прямой АВ. 2. Составить уравнение плоскости Q, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ. 3. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Q. 4. Вычислить расстояние от точки С до прямой АВ. 5. Найти точку D, симметричную точке С относительно прямой АВ.

1. Прямая, проходящая через две точки пространства, может быть представлена каноническими уравнениями:
Для данной задачи прямая АВ имеет уравнения:
x-(-1)3-(-1)=y-(-3)-1-(-3)=z-51-5;
x+14=y+32=z-5-4
AB:x+12=y+31=z-5-2
2. Прямая АВ имеет координаты направляющего вектораs={2;1;-2}.
Плоскость Q проходит через точку С. Формула уравнения плоскости, проходящей через данную точку имеет вид:

Где {A; B; C} - координаты нормального вектора плоскости. По условию
прямаяАВ Q, поэтому координаты ее нормального вектора совпадают с координатами направляющего вектора прямой АВ

. Учитывая формулу [2], получим уравнение плоскости Q:
2x-0+1y--4-2z-1=0;
2x+y+4-2z+2=0;
Q:2x+y-2z+6=0
3. Находим точку пересечения прямой АВ с плоскостью Q. Для этого уравнения прямой запишем в параметрической форме:
AB:x+12=y+31=z-5-2=t
x+12=ty+31=tz-5-2=t;
x=2t-1y=t-3z=-2t+5 ;[3]
Эти значения подставим в уравнение плоскости Q и определим значение t.
Q:22t-1+(t-3)-2(-2t+5)+6=0
4t-2+t-3+4t-10=0
9t=15;
t=159=53
Теперь находим координаты точки пересечения, подставляя значение t = 1 в систему [3]