Электрон находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной l. В каких точках

Электрон находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале 0 < x < l плотности вероятности нахождения электрона на втором и третьем энергетических уровнях одинаковы? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графиком. Дано: l=L n = 2 n = 3

W1=W2 Вероятность dW обнаружить частицу в интервале от x до x+dx (в одномерном случае) выражается формулой
dW=ψ(x)2dx, где
ψ(x)2 - плотность вероятности.
Так как частица находится в потенциальном ящике шириной L, то
ψ(x)=CsinπnLx
Поэтому
ψ(x)2=C2sin2πnLx
А так как n=2, то W1=ψ(x)2=C2sin22πLx
Так как для другого уровня n=3, то
W1=ψ(x)2=C2sin23πLx
Из условий известно, что
C2sin22πLx=C2sin23πLx
Откуда
sin2πLx=sin3πLx
Уравнение имеет решение при
±2πLx+nπ=3πLx
То есть
2πLx+nπ=3πLx
откуда x=nL, а, следовательно, x=0 и x=L.
И второе решение
-2πLx+nπ=3πLx
Откуда
x=nL5
Поэтому x=0; L/5; 2L/5; 3L/5; 4L/5; L.
Ответ: x=0; L/5; 2L/5; 3L/5; 4L/5; L.