Исследовать на экстремум функцию z=x+3y+4x+27y-4.

Исследовать на экстремум функцию z=x+3y+4x+27y-4.

Областью определения заданной функции является множество D=x, y∈R2: x≠0, y≠0.
Найдем критические точки, то есть точки, в которых
∂z∂x=0,∂z∂y=0.
Так как
∂z∂x=1-4x2, ∂z∂y=3-27y2,
то решим систему:
1-4x2=0,3-27y2=0.
4x2=1,27y2=3.
x2=4,y2=9.
x=±2,y=±3.
Итак, получили четыре критические точки M12;3, M22; -3, M3-2; -3, M4-2;3.
Исследуем каждую точку на экстремум . Для этого рассмотрим оператор
ΔM=∂2z∂x2∂2z∂y∂x∂2z∂x∂y∂2z∂y2=8x30054y3=2916x3y3.
Для точки M12;3 имеем
ΔM1=291623⋅33>0.
Следовательно, точка M12;3 является экстремумом

. Для этого рассмотрим оператор
ΔM=∂2z∂x2∂2z∂y∂x∂2z∂x∂y∂2z∂y2=8x30054y3=2916x3y3.
Для точки M12;3 имеем
ΔM1=291623⋅33>0.
Следовательно, точка M12;3 является экстремумом