Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд; б) исследовать на сходимость с

Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд; б) исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд; в) найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости. а) ; б) ; в) .

А) Общий член ряда , значит, . Вычислим предел их отношения:
.
Так как , то заданный ряд расходится на основании признака Даламбера.
б) Рассмотрим модуль общего члена заданного ряда:
.
Очевидно, что , то есть, модуль общего члена монотонно убывает . Кроме того, . Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены, значит, заданный ряд сходится.
в) Общий член заданного ряда:
.
Применим к ряду признак Даламбера:
.
Ряд сходится абсолютно, если .
Исследуем на концах полученного интервала.
При получим знакочередующийся ряд
.
Он расходится, так как для него не выполнено необходимое условие сходимости рядов: общий член по модулю не стремится к нулю.
По этой же причине расходится ряд при :
.
Ответ: а) расходится; б) сходится; в) сходится при .

. Кроме того, . Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены, значит, заданный ряд сходится.
в) Общий член заданного ряда:
.
Применим к ряду признак Даламбера:
.
Ряд сходится абсолютно, если .
Исследуем на концах полученного интервала.
При получим знакочередующийся ряд
.
Он расходится, так как для него не выполнено необходимое условие сходимости рядов: общий член по модулю не стремится к нулю.
По этой же причине расходится ряд при :
.
Ответ: а) расходится; б) сходится; в) сходится при .