Исследовать на экстремум функцию z=xy(12-x-y).

Исследовать на экстремум функцию z=xy(12-x-y).

Найдем частные производные
∂z∂x=y12-x-y+xy∙-1=12y-2xy-y2
∂z∂y=x12-x-y+xy∙-1=12x-2xy-x2
Найдем критические точки:
12y-2xy-y2=0, /(-1)12x-2xy-x2=0.⟹-12y+2xy+y2=0, 12x-2xy-x2=0.
Сложим уравнения системы
12x-12y+y2-x2=0⟹12x-y-x-y(x+y)=0⟹
⟹x-y12-x-y=0
x-y=0, то есть y=x . Подставим в первое
12x-2x2-x2=0⟹3x4-x=0⟹x1=0, x2=4
y1=0, y2=4
Точки M1(0,0) и M2(4,4)
12-x-y=0, то есть y=12-x. Подставим во второе
12x-2x12-x-x2=0⟹12x-24x+2x2-x2=0⟹
⟹x2-12x=0⟹xx-12=0⟹x3=0, x4=12
y3=12, y4=0
Точки M3(0,12) и M4(12,0)
Проверим критические точки на экстремум

. Подставим в первое
12x-2x2-x2=0⟹3x4-x=0⟹x1=0, x2=4
y1=0, y2=4
Точки M1(0,0) и M2(4,4)
12-x-y=0, то есть y=12-x. Подставим во второе
12x-2x12-x-x2=0⟹12x-24x+2x2-x2=0⟹
⟹x2-12x=0⟹xx-12=0⟹x3=0, x4=12
y3=12, y4=0
Точки M3(0,12) и M4(12,0)
Проверим критические точки на экстремум