Исследовать ряд на сходимость: 1) n=1∞3n-14n-3;2) n=1∞-1nn+13n2+1;3)n=1∞3nn!nn;4)n=1∞-1nn!3n

Исследовать ряд на сходимость: 1) n=1∞3n-14n-3;2) n=1∞-1nn+13n2+1;3)n=1∞3nn!nn;4)n=1∞-1nn!3n

1) n=1∞3n-14n-3
Поскольку для данного ряда не выполняется необходимое условие сходимости (общий член ряда не стремится к нулю):
limn→∞3n-14n-3=34
то ряд – расходится.
2) n=1∞-1nn+13n2+1
Рассмотрим ряд, составленный из модулей:
n=1∞n+13n2+1
Для исследования сходимости ряда воспользуемся предельной теоремой сравнения. Имеем:
n+13n2+1~13n при n→∞
Но ряд:
n=1∞13n
Расходится как гармонический ряд вида n=1∞Anp,p=1 . Следовательно, в силу предельной теоремы сравнения расходится и ряд, составленный из абсолютных значений.
Исследуем возможность условной сходимости.
1. Ряд – знакочередующийся.
2. Члены ряда убывают по абсолютной величине:
anan+1=n+13n2+1n+1+13n+12+1=3n3+9n2+10n+43n3+6n2+n+2>1
3

. Следовательно, в силу предельной теоремы сравнения расходится и ряд, составленный из абсолютных значений.
Исследуем возможность условной сходимости.
1. Ряд – знакочередующийся.
2. Члены ряда убывают по абсолютной величине:
anan+1=n+13n2+1n+1+13n+12+1=3n3+9n2+10n+43n3+6n2+n+2>1
3