Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y''-4y'+4y=e2x, y0=2, y'0=8

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y''-4y'+4y=e2x, y0=2, y'0=8

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решим сначала линейное однородное уравнение:
y''-4y'+4y=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
k2-4k+4=0
(k-2)2=0 k1,2=2
Корни характеристического уравнения действительные кратности 2, поэтому общее решение однородного уравнения запишем в виде:
y0=C1e2x+C2xe2x
Найдем частное решение неоднородного уравнения . Правая часть неоднородного уравнения имеет специальный вид и так как корни характеристического уравнения совпадают с показателем экспоненты правой части, то частное решение будем искать в виде:
y=Ax2e2x
y'=2Axe2x+2Ax2e2x
y''=2Ae2x+4Axe2x+4Axe2x+4Ax2e2x
Подставим данные значения в исходное уравнение:
2Ae2x+4Axe2x+4Axe2x+4Ax2e2x-4(2Axe2x+2Ax2e2x)+4Ax2e2x=e2x
2Ae2x=e2x => A=12
y=12x2e2x
Общее решение неоднородного уравнения:
y=y0+y=C1e2x+C2xe2x+12x2e2x
Найдем частное решение, исходя из начальных условий:
y0=C1 => C1=2
y'=2C1e2x+C2e2x+2C2xe2x+xe2x=4e2x+C2e2x+2C2xe2x+xe2x
y'0=4+C2 => 4+C2=8 => C2=4
Частное решение:
y=2e2x+4xe2x+12x2e2x

. Правая часть неоднородного уравнения имеет специальный вид и так как корни характеристического уравнения совпадают с показателем экспоненты правой части, то частное решение будем искать в виде:
y=Ax2e2x
y'=2Axe2x+2Ax2e2x
y''=2Ae2x+4Axe2x+4Axe2x+4Ax2e2x
Подставим данные значения в исходное уравнение:
2Ae2x+4Axe2x+4Axe2x+4Ax2e2x-4(2Axe2x+2Ax2e2x)+4Ax2e2x=e2x
2Ae2x=e2x => A=12
y=12x2e2x
Общее решение неоднородного уравнения:
y=y0+y=C1e2x+C2xe2x+12x2e2x
Найдем частное решение, исходя из начальных условий:
y0=C1 => C1=2
y'=2C1e2x+C2e2x+2C2xe2x+xe2x=4e2x+C2e2x+2C2xe2x+xe2x
y'0=4+C2 => 4+C2=8 => C2=4
Частное решение:
y=2e2x+4xe2x+12x2e2x