Найти циркуляцию векторного поля a=xy+zx+yi+3x+z+yj+x+z2k по контуру (по часовой стрелке, если смотреть из т. O(0,0,0))

Найти циркуляцию векторного поля a=xy+zx+yi+3x+z+yj+x+z2k по контуру (по часовой стрелке, если смотреть из т. O(0,0,0)) в виде окружности с центром в т. M(0,0,3) и радиусом R=2, плоскость которой перпендикулярна оси z).

Циркуляция векторного поля a − это криволинейный интеграл по замкнутому контуру L
Ц=L adr
По теореме Стокса циркуляцию можно вычислить с помощью поверхностного интеграла
Ц=L adr=S rot a∙dS=S rot andS,
где S − любая поверхность натянутая на контур L.
rot a=ijk∂∂x∂∂y∂∂za1a2a3=∂a3∂y-∂a2∂zi+∂a1∂z-∂a3∂xj+∂a2∂x-∂a1∂yk=
=∂x+z2∂y-∂3x+z+y∂zi+∂xy+zx+y∂z-∂x+z2∂xj+∂3x+z+y∂x-∂xy+zx+y∂yk=
=0-1i+x-2x+zj+3-x-1k=-i-x+2zj+(2-x)k.
Если поверхность S взять в виде круга D=x2+y2<22, z=3 радиусом R=2, лежащего в плоскости z=3, то
rot an=rot az=2-x.
Следовательно,
Ц=L adr=S rot azdS=D 2-xdxdy=В полярных координатахx=rcosφ, y=rsinφякобиан J=r=
=0202π2-rcosφrdφdr=022φ02π-r sinφ02π=0rdr=4π02rdr=
=4π∙r2202=8π.
Ответ: Ц=8π.