Найти массу кривой y=ln, 1 ≤x ≤7, если линейная плотность ρ(x,y)=x2

Найти массу кривой y=ln, 1 ≤x ≤7, если линейная плотность ρ(x,y)=x2

Находим по формуле m=07ρ(x,y)(1+(y′)2)1/2dx, ρ(x,y)=x2, y′=1/x
Маса кривой y=lnх равна m=07x2(1+1/x2)0.5dx=07x(x2 +1)0.5dx=(1/2)07(1+x2)0.5d(x2+1)=(1/2)* (1+x2)1.5/(3/2)=(1/3) (1+x2)1.5|07=(1/3)(250(2)0,5-1)
1) Вычислить объём эллипсоида
x24 +y216+z29 = 1
Ввиду симметрии по всем осям:
V=802dx016-4x20.5dy0316-4x2-y20.5/4dz=2402dx016-4x20.5(16-4x2-y20.5/4)dy=
=602dx016-4x20.5(16-4x2-y20.5dy
Отдельно возьмем полутабличный интеграл ʃ(a2-z2)1/2dz= (a2/2)(arcsin(z/a)+((z/a2 ) (a2-z2)1/2))=
=(a2/2)(arcsin(z/a)+(z/2)(a2-z2)1/2 в нашем случае a2 =16-4x2 z=y
016-4x20.5(16-4x2-y20.5/4)dy=((8-2x2)(arcsin(y/(16-4x2)1/2)+ (16-4x2)/2= (4-x2)π+8-2x2
Теперь получаем: 602(4-x^2)πdx=32π
Ответ: обьем эллипсоида с полуосями а=2; b=4; c=3 равен 32π