Случайная величина ξ имеет некоторое дискретное распределение. Распределение случайной величины η зависит от того,

Случайная величина ξ имеет некоторое дискретное распределение. Распределение случайной величины η зависит от того, какие значения x принимает ξ. Виды распределений и формы зависимости указаны в таблице по вариантам. Необходимо построить распределения апостериорных вероятностей ξ при заданных значениях y1,y2,y3 случайной величины η Вариант Распределение ξ Распределение η y1 y2 y3 7 Бернулли p=0,65 Нормальное μ=5,σ = 2+x [1,3] (3,6) [6,9]

Запишем распределение случайной величины ξ (распределение Бернулли с параметром p=0,65):
x
0 1
px
0,35 0,65
Т.е. с вероятностью q=0,35 распределение случайной величины η имеет параметры μ=5,σ = 2, а с вероятностью p=0,65 – параметры μ=5,σ = 3.
Вероятности же принять значение из некоторого интервала α;β для нормально распределённой величины вычисляется по формуле:
Pα≤η≤β=Фβ-μσ-Фα-μσ
где Фx=12π0xe-t22dt - функция Лапласа, значения которой протабулированы.
1 . Значение y1∈1,3.
Имеем для случая x=0:
Py1|x=0=Ф3-52-Ф1-52=Ф-1-Ф-2=Ф2-Ф1=
=0,4772-0,3413=0,1359
Аналогично для случая x=1:
Py1|x=1=Ф3-53-Ф1-53=Ф-0,67-Ф-1,33=
=Ф1,33-Ф0,67=0,4082-0,2486=0,1596
По формуле полной вероятности находим вероятность принять значение из интервала y1:
Py1=ipxipy1|xi=0,35∙0,1359+0,65∙0,1596≈0,1513
Апостериорные вероятности ξ находим по формуле Байеса:
pxi|y1=pxipy1|xiPy1
Т.е. в нашем случае:
px=0|y1=0,35∙0,13590,1513≈0,3146
px=1|y1=0,65∙0,15960,1513≈0,6854
2

. Значение y1∈1,3.
Имеем для случая x=0:
Py1|x=0=Ф3-52-Ф1-52=Ф-1-Ф-2=Ф2-Ф1=
=0,4772-0,3413=0,1359
Аналогично для случая x=1:
Py1|x=1=Ф3-53-Ф1-53=Ф-0,67-Ф-1,33=
=Ф1,33-Ф0,67=0,4082-0,2486=0,1596
По формуле полной вероятности находим вероятность принять значение из интервала y1:
Py1=ipxipy1|xi=0,35∙0,1359+0,65∙0,1596≈0,1513
Апостериорные вероятности ξ находим по формуле Байеса:
pxi|y1=pxipy1|xiPy1
Т.е. в нашем случае:
px=0|y1=0,35∙0,13590,1513≈0,3146
px=1|y1=0,65∙0,15960,1513≈0,6854
2