Случайная величина Х задана функцией распределения F(х). Требуется найти: 1) плотность распределения вероятностей f(х);

Случайная величина Х задана функцией распределения F(х). Требуется найти: 1) плотность распределения вероятностей f(х); 2) математическое ожидание M(X); 3) дисперсию D(X); 4) построить графики функций f(х) и F(х). F(x)=0 при x≤0, sin2x при 0<x≤π4 ,1 при x>π4 .

1)Найдем функцию плотности распределения вероятностей fx:
fx=F'(x)=0 при x≤0, 2cos2x при 0<x≤π4 ,0 при x>π4 .
2) Вычислим математическое ожидание M(X);
MX=-∞+∞xf(x)dx=0π4x∙2cos2xdx=20π4x∙cos2xdx=
=интегрируем по частям по формуле:fdg=fg-gdff=x ⇒df=dx,dg=cos2xdx⇒g=cos2xdx=12sin(2x)=2xsin2xπ40-0π4sin2xdx=
=2π4∙12∙sin⁡(2∙π4)-0∙sin⁡(2∙0)-12∙-cos⁡(2x)π40=
=2π8∙sin⁡π2+12∙cos⁡(2x)π40=2π8∙1+12∙cos2∙π4-cos⁡(2∙0)=
=π4+cosπ2-12cos0=π4+0-12=π4-12 .
3)Дисперсию вычислим по формуле:
DX=-∞+∞x2f(x)dx-MX2.
DX=0π4x2∙2cos⁡(2x)dx-π4-122=2∙0π4x2∙2cos⁡(2x)dx-π4-122=
=интегрируем по частямf=x2 ⇒df=2xdxdg=cos2xdx ⇒ g=12sin⁡(2x)=212x2sin2xπ40-0π4xsin2xdx-π4-122
=π42sin2∙π4-02sin2∙0-20π4xsin2xdx-π4-122=
=π216-2∙0π4xsin2xdx-π4-122=интегрируем по частямf=x ⇒df=dxdg=sin2xdx ⇒g=-12cos⁡(2x)=
=π216-2∙-12xcos2xπ40+120π4cos2xdx-π4-122=
=π216+xcos2xπ40-0π4cos2xdx-π4-122=
=π216+π4∙cos2∙π4-0∙cos2∙0-12sin2xπ40-π4-122=
=π216-12sin2∙π4-sin2∙0-π4-122=π216-12sinπ2-sin0-π4-122=
=π216-12-π216+π4-14=π4-34 .
4) Построим графики функций f(х) и F(х).