Вычислить центральную и правую разностные производные функции fx=e0.6xx с шагом h=0.1 в точке x0=a+b2=2.2+3.82=3.

Вычислить центральную и правую разностные производные функции fx=e0.6xx с шагом h=0.1 в точке x0=a+b2=2.2+3.82=3. Выполнить априорную оценку погрешности для каждой формулы, сравнить с точным значением производной. Записать результат с учётом погрешности.

Получаем x0=3, x-1=2.9, x1=3.1, x2=3.2.
Значение производной в центральном узле при n=2:
f'xi=yi+1-yi-12h+h26f'''ξ
Значение правой разностной производной:
f'xi=-3yi+4yi+1-yi+22h+h23f'''ξ
ξ – некоторая промежуточная точка.
Оценим максимум третьей производной f'''ξ на отрезке [2.2; 3.8].
f'x=-9e0.6xx10x2x
f''x=81e0.6xx100x5+9e0.6xx4x3x
f'''x=-9e0.6xx875x3+675xx+811000x7x
Построим график третьей производной:
Приближённо примем f'''ξ=0.086.
Тогда погрешность для центральной формулы:
h26f'''ξ≈0.00014.
Значение производной в центральном узле при n=2:
f'x0≈y1-y-12h≈-0.06492.
С учётом погрешности
f'x0=-0.06492±0.00014.
Значение правой разностной производной:
f'x0≈-3y0+4y1-y22h≈-0.06459.
С учётом погрешности h23f'''ξ:
f'x0=-0.06459±0.00028.
Сравним с точным значением в точке x0=3.
f'3=-9e0.633903=-0.06480.
Реальная погрешность для центральной формулы
∆=-0.06480+0.06492=0.00012.
Реальная погрешность для правой разностной производной:
∆=-0.06480+0.06459=0.00021.
Таким образом, априорная и реальная погрешности соответствуют друг другу.