Вычислить центральную и правую разностные производные функции fx=e-arctg x с шагом h=0.1 в точке

Вычислить центральную и правую разностные производные функции fx=e-arctg x с шагом h=0.1 в точке x0=a+b2=3+4.62=3.8. Выполнить априорную оценку погрешности для каждой формулы, сравнить с точным значением производной. Записать результат с учётом погрешности.

Получаем x0=3.8, x-1=3.7, x1=3.9, x2=4.0.
Значение производной в центральном узле при n=2:
f'xi=yi+1-yi-12h+h26f'''ξ
Значение правой разностной производной:
f'xi=-3yi+4yi+1-yi+22h+h23f'''ξ
ξ – некоторая промежуточная точка.
Оценим максимум третьей производной f'''ξ на отрезке [3.7; 4.0].
f'x=-e-arctg x1+x2
f''x=e-arctg x1+x22+2xe-arctg x1+x22
f'''x=-e-arctg x6x2+6x-11+x23
Построим график третьей производной:
Приближённо примем f'''ξ=-0.0088.
Тогда погрешность для центральной формулы:
h26f'''ξ≈0.000015.
Значение производной в центральном узле при n=2:
f'x0≈y1-y-12h≈-0.017428.
С учётом погрешности
f'x0=-0.017428±0.000015.
Значение правой разностной производной:
f'x0≈-3y0+4y1-y22h≈-0.017390.
С учётом погрешности h23f'''ξ:
f'x0=-0.01739±0.00003.
Сравним с точным значением в точке x0=3.8.
f'3.8=e-arctg 3.81+3.822+2xe-arctg 3.81+3.822=-0.017415.
Реальная погрешность для центральной формулы
∆=-0.017428+0.017415=0.00013.
Реальная погрешность для правой разностной производной:
∆=-0.017390+0.017415=0.00025.
Таким образом, априорная и реальная погрешности соответствуют друг другу.