Вычислить центральную и правую разностные производные функции fx=e-1xx с шагом h=0.1 в точке x0=a+b2=1.2+2.82=2.0.

Вычислить центральную и правую разностные производные функции fx=e-1xx с шагом h=0.1 в точке x0=a+b2=1.2+2.82=2.0. Выполнить априорную оценку погрешности для каждой формулы, сравнить с точным значением производной. Записать результат с учётом погрешности.

Получаем x0=2.0, x-1=1.9, x1=2.1, x2=2.2.
Значение производной в центральном узле при n=2:
f'xi=yi+1-yi-12h+h26f'''ξ
Значение правой разностной производной:
f'xi=-3yi+4yi+1-yi+22h+h23f'''ξ
ξ – некоторая промежуточная точка.
Оценим максимум третьей производной f'''ξ на отрезке [1.2; 2.8].
f'x=2x-52e-1xx
f''x=-34x-5e-1xx5x32-3
f'''x=38x-152e-1xx35x3-45x32+9
Построим график третьей производной:
Приближённо примем f'''ξ=0.273.
Тогда погрешность для центральной формулы:
h26f'''ξ≈0.00046.
Значение производной в центральном узле при n=2:
f'x0≈y1-y-12h≈0.18659.
С учётом погрешности
f'x0=0.18659±0.00046.
Значение правой разностной производной:
f'x0≈-3y0+4y1-y22h≈0.18549.
С учётом погрешности h23f'''ξ:
f'x0=0.18549±0.00092.
Сравним с точным значением в точке x0=2.0.
f'2.0=2∙2-52∙e-122=0.18620.
Реальная погрешность для центральной формулы
∆=0.18659+0.18620=0.00039.
Реальная погрешность для правой разностной производной:
∆=0.18549+0.18620=0.00071.
Таким образом, априорная и реальная погрешности примерно соответствуют друг другу.