Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Особливості протікання газів в капілярах

Міністерство освіти і науки України

Полтавський державний педагогічний

університет імені В.Г.Короленка

Кафедра загальної фізики

Особливості течії

газів в капілярах

Курсову роботу виконала студентка

Фізико-математичного факультету

І\/ курсу групи Фі - 42

Калюжна Любов Олегівна

Науковий керівник:

Доц. Куликівський Сергій Гнатович

Полтава 2005

Зміст

І. Вступ. ............................................................................................................... 3

ІІ. Вакуум і його властивості.

1. Вакуум. ...................................................................................................... 5

2. Ефузія розрідженого газу........................................................................ 5

ІІІ. Явища переносу в газах.

1. Теплова ефузія - ефект Кнудсена. Абсолютний манометр

Кнудсена...................................................................................................... 9

2.Молекулярне перетікання розрідженого газу через капіляр.............. 13

І\/. Рішення рівняння Больцмана для вироджених течій.

Течія Куетта.

1.Нелінійні задачі. Моментний метод....................................................... 20

2.Нелінійні задачі. Метод Монте – Карло................................................ 24

3.Течія Пуазеля. Парадокс Кнудсена........................................................ 28

\/. Проблема статистичних структур.

Введення.................................................................................................... 31
Стаціонарний стан як задача на власні значення нелінійний

Рівнянь....................................................................................................... 32

\/І. Одномірна течія газу.

1. Особливості течії газу............................................................................ 35

2. Течія газу в трубі постійного перерізу............................................... 37

\/ІІ. Висновки.........................................................................................................

\/ІІІ. Література......................................................................................................

І. Вступ.

Кінетична теорія базується на гіпотезі про те, що всі речовини, в тому числі і гази, складаються з молекул. Хоча навіть за допомогою самих потужних мікроскопів неможливо прослідкувати за рухом окремих молекул, але тим не менше молекулярна гіпотеза не викликає сумніву. Вивчаючи газоподібний стан речовини, слід враховувати і розміри частинок, і сили, які діють між ними.

Газом називається сукупність молекул, які знаходяться на таких великих відстанях одна від одної, що вони велику частину часу слабо взаємодіють одна з одною. Короткі проміжки часу, в момент яких молекули сильно взаємодіють, розглядається як зіткнення.

Оскільки молекули газів малі в порівнянні з відстанями між ними і сили взаємодії дуже малі (крім моментів зіткнень), то для спрощення міркувань і розрахунків можна нехтувати об’ємом молекул і силами, які діють між ними, і думати, що їх взаємодія зводиться лише до співударяння і що співударяння частинок між собою і зі стінками здійснюються без втрати енергії. Більшість часу кожна молекула газу рухається вільно і лише іноді відчуває пружні зіткнення з іншими молекулами або зі стінками посудини. За рахунок таких спрощень ми замінюємо вивчення реальних газів вивченням їх наближеної моделі - так званого ідеального газу. Ідеальним вважають газ, який складається з скупчення пружних молекул – кульок дуже малих розмірів, які вільно і неупорядковано рухаються і взаємодіють між собою лише при співударах. Така модель виявляється ідеалізацією діючої структури газів, але вона дає змогу обґрунтувати основні властивості і встановити деякі важливі закономірності їх поведінки.

Якщо середньою по часу потенціальною енергією взаємодії молекул можна знехтувати в порівнянні з їх кінетичною енергією, то газ називається ідеальним.

Нижче будемо розглядати лише ідеальні гази. Якщо молекули при великих віддаленнях одна від одної володіють слабким потенціалом відштовхування на малих відстанях, то при зменшенні густини газу ( збільшення середньої відстані між молекулами ) потенціальна енергія взаємодії швидко спадає. Практично гази з нейтральних молекул при тисках до сотень атмосфер можуть розглядатися як ідеальні. До цих же тисків вірогідність потрійних зіткнень ( тобто таких зіткнень, в яких приймають участь відразу три молекули ) мала в порівнянні з вірогідністю подвійних ( або парних ) зіткнень.

Далі скрізь припускається, що рух молекул може бути описано за допомогою класичної ньютонівської механіки. Квантові ефекти суттєві лише при дуже низьких температурах і для легких молекул ( гелій, електрони, водень ). Для гідрогену і гелію квантові поправки суттєві вже при нормальних умовах. Більшість ж газів зріджується при температурі, при якій ще немає необхідності використовувати квантову теорію зіткнення молекул.

Квантові ефекти необхідно враховувати при не пружних зіткненнях атомів і молекул ( збудження внутрішніх степенем вільності молекул, збудження електронних рівнів і т.д. ). Потенціали пружних взаємодій молекул також можуть бути обраховані лише за допомогою квантової механіки.

Релятивістські ефекти суттєві лише при дуже великих температурах ( великих швидкостях молекул ). Практично ці ефекти можна не враховувати при температурах порядку десятків і сотень тисяч градусів. Для гідрогену,

наприклад, середня швидкість молекул при температурі в 10⁵ ºК дорівнює 0,0001 швидкості світла. Навіть швидкість електрона при такій температурі дорівнює тисячні долі швидкості світла.

Таким чином, розглядувана нижче теорія ідеального газу з врахуванням парних зіткнень в рамках класичної механіки описує рух газу в широкому діапазоні температур і тисків ( для температур від десятків градусів Кельвіна до сотень тисяч градусів і для тисків до сотень атмосфер ).

ІІ. Вакуум і його властивості.

1. Вакуум.

Якщо газ відкачувати з посудини, то по мірі пониження тиску число зіткнень молекул одна з одною зменшується, а середня довжина вільного пробігу молекул збільшується. Нарешті при достатньо великому розріджені зіткнення між молекулами на шляху від стінки до стінки стануть рідкими явищами. Тоді властивості газу будуть визначатися не міжмолекулярними зіткненнями, а зіткненнями молекул зі стінками. Якщо середня довжина вільного пробігу молекул є величина такого ж порядку, як лінійні розміри посудини, або ще більше, то стан такого газу називається вакуумом. Таким чином, вакуумний стан газу характеризується співвідношенням між лінійними розмірами посудини і середньою довжиною вільного пробігу молекул.

Розрізняють три наступні види вакууму:

низький, коли середня довжина вільного пробігу молекул наближається до лінійних розмірів посудини d, але ще менше цих розмірів;
середній, коли порівняна з d;
високий (глибокий), коли набагато більша за d.

При не дуже малих розмірах посудини (не пори і не капіляри) степінь вакуумування можна охарактеризувати величиною тиску газу. Високий вакуум відповідає тиску 10^-4 торр і менше, середній від 10^-4 до 1 торр, низький від 1 атм до 1 торр.

Низький вакуум по своїм властивостям не відрізняється від розрідженого газу, не поміщеного в посудину, наприклад в хвостах комет або газовій туманності, так як в низькому вакуумі зіткнення зі стінками ще не грає важливої ролі. Вакуум в наш час широко використовується в техніці. Застосування вакууму дає кращі можливості для здійснення багатьох хімічних реакцій. Наприклад, у вакуумі більш прискорено йде дисоціація деяких металічних окислів і карбонатів, а також встановлення цих окислів вуглеводом.

В таких процесах, як сушка, випаровування, дистиляція, зниження тиску збільшує швидкість процесу.

Загальновідомо застосування вакууму в електролампах, в радіолампах, фотоелементах, рентгенівських трубках, прискорювачів частинок і т.і.

Вивчення властивостей розрідженого газу в наш час представляє собою велику цікавість ще й в зв’язку з зверхзвуковими польотами на великих висотах.

2.Ефузія розрідженого газу.

Візьмемо посудину розділену тонкою перегородкою на дві частини А і В. Нехай в А знаходиться розріджений газ, а в B газу немає. Виділимо уявно на поверхні перегородки область s. Можна знайти, що число молекул, які „налітають” на цю область за одиничний час, виражається формулою:

N=(1/6)nūs (1)

де п – число молекул в одиничному об’ємі, и – середня швидкість

молекул, яка визначається по формулі ū =

Більш строга теорія дає значення N, які відрізняються від формули (1) тільки числовим коефіцієнтом, у вигляді

N=(1/4)nūs (2)

Скориставшись рівнянням p=nkT і формулою ū =

, перепишемо

(2) у новому вигляді:

N=C ps (3)

де стала .C = .

Зробимо в перегородці отвір площа якого дорівнює s. Чому дорівнює число молекул, пролітаючих через цей отвір з А в В? Чи дорівнює воно числу молекул, які попадали на область s, коли отвору не було і які визначаються по формулі (2)?

Відповідь на це питання буде залежати від тиску газу, розмірів отвору і

товщини перегородки, і середньої довжини вільного пробігу λ.

Середня довжина вільного пробігу молекули газу λ обернено пропорційна тиску р. При звичайних тисках і не мікроскопічних розмірах отвору довжина

λ дуже мала порівняно з лінійними розмірами отвору. При цих умовах молекули багаторазово стикаються з іншими молекулами поблизу отвору. В результаті цього виникає упорядкований колективний рух молекул в напрямку до отвору. Його можна розглядати як гідродинамічний потік, який виникає при різних тисках в газі. Розподіл концентрації і швидкостей молекул газу поблизу отвору відчують значні зміни порівняно з тими, якими вони були б при відсутності отвору. Тому формула (3) не може бути застосована, так як вона виведена для випадку, коли молекули газу рухаються хаотично. Якщо ж тиск газу дуже низький або якщо товщина перегородки і розмір отвору

менший довжини вільного пробігу λ, то молекули будуть пролітати через отвір, не відчуваючи зіткнення з іншими молекулами біля отвору або з його бічними стінками (зіткнення молекул між собою перестає грати в цьому роль). Якщо в перегородці зробити малий отвір, то площа стінок, з якими стикаються молекули зміниться дуже мало. Це ніяк не відчується на розподілі концентрації і швидкості молекул у всій посудині в тому числі і поблизу отвору. Таким чином, молекули в цьому випадку будуть рухатися незалежно один від одного, так що для знаходження числа молекул щосекундно вилітаючих в порожнечю через отвір s в стінці, можна користуватися формулою (3).

Потік молекул газу через отвір в тонкій стінці при настільки малому тиску газу або при настільки малому отворі, що довжина вільного пробігу молекул більших розмірів отвору, називається еффузійним потоком. При цьому стінку

називають тонкою, якщо її товщина менша λ

мал. 1

Формула (3) була застосована Кнудсеном для розрахунку тиску газу парів ртуті в наступному досліді. В кільцевому жолобі посудини ( показаному на малюнку 1) поміщена ртуть. Температура в А підтримується постійною за допомогою термостата Т. Посудина А з’єднується за допомогою циліндричної трубки В з каліброваним капіляром М. Вся система відкачується до високого вакууму. Капіляр М охолоджується рідким повітрям. Пари ртуті прямують в В і конденсуються в М. Дослід виконують до тих пір, доки в М збереться достатня кількість ртуті. Знаючи N, m, T і s, можна розрахувати тиск парів. Тиск парів ртуті виявилося рівним 0,25·10 ^-6 атм.

Припустимо зараз, що тонка перегородка з отвором радіуса d розділяє дві посудини А і В, які містять один і той же газ, але при різних тисках, настільки малих, що λ >d. Тоді молекули будуть еффундувати з В в А і з А в В. Ці потоки не залежать один від одного, так як зіткнення між молекулами біля отвору відсутні. Тому результуючий потік молекул через одиничну площину за одиницю часу визначається рівнянням:

N=C (p_A-p_B) (4)

де рА і рВ - тиск газу в посудинах А і В відповідно.

Якщо в посудинах А і В знаходяться суміші обох газів при одній і тій же температурі, то кожен газ буде еффундувати через отвір s незалежно від іншого. Еффузійні потоки обох газів будуть визначатися різницею парціальних тисків по обидва боки отвору. Таким чином:

N1=C

(p_1,A- p_1,B) (5)

де p1,А і p1,В - парціальний тиск першого газу в посудинах А і В відповідно.

Аналогічно для другого газу маємо, що

N2=C (p_2,A- p_2,B)

Знайдемо величину відношення N1/N2 у вигляді

(6)

Отже, еффузійні потоки молекул обернено пропорційні корню квадратному з маси молекул. З усього цього випливає, що при рівних умовах бистріше буде витікати через отвір в стінці той газ, маса молекул якого менша. Припустимо, наприклад, що посудина А заповнена гелієм (газ 1), а посудина В киснем (газ 2) при однаковому тиску і одній і тій же температурі. Тоді в рівнянні (6) p1,В=0, p2,А=0 і p1,А = p2,В. Згідно (6):

де m₁ - маса молекули гелію, а m₂ - маса молекули кисню.

Таким чином, в початковий момент часу, коли в одній з посудин знаходиться лише гелій, а в іншій знаходиться тільки кисень, при однаковому тиску і одній і тій же температурі молекули гелію будуть входить в В в 4 рази швидше, ніж звідтілля будуть виходити молекули кисню. Тому тиск в В спочатку збільшується, а потім знову зрівноважується з тиском в А, коли парціальний тиск цих газів в обох посудинах стане одноковим.

Навіть якщо б початковий тиск кисню в В був не набагато більший від тиску гелію в А, то все-таки в В влітало б більше молекул гелію, чим звідтіля вилітало б молекул кисню. В протиріччя цьому, якщо гелій і кисень мають рівні, але настільки високі тиски, що умова еффузії не задовольняється, то еффузійний потік газів з однієї посудини в іншу не виникає, а буде виникати їх взаємна диффузія, доки концентрації компонент суміші не стануть

однаковими в обох посудинах.

Кнудсен (1908) провірив формулу (5) на досліді, випускаючи газ через отвір при різних тисках. В двох платинових пластинках товщиною 0,0025 і 0,0050 мм були зроблені отвори вільної форми. Площа одного з отворів була

5,21 · 10 ^-4 , а іншого 66 · 10 ^-4 мм². При таких тисках, коли середня довжина вільного пробігу молекул була більша лінійних розмірів отворів, результати дослідів виявилися вірними відповідно до теорії.

Формулою (5) можна скористатися для вимірів максимального тиску парів деяких дуже мало летучих речовин, наприклад ртуті. Для цього достатньо випустити пар через невеликий отвір в пусту посудину і охолодити цю посудину, щоб пар сконденсувався. Якщо потім виміряти масу сконденсованого пару, то можна розрахувати тиск.

Ефузія газу через мембрану з великою кількістю отворів застосовується на практиці для розділу ізотопів.

ІІІ. Явища переносу в газах.

1.Теплова ефузія - ефект Кнудсена.

Абсолютний манометр Кнудсена.

Нехай дві посудини 1 і 2 з’єднані між собою трубкою (див. мал. 2 )

мал. 2

в яких підтримується різна температура Т1 і Т2. коли поперечний переріз трубки дуже великий в порівнянні з довжиною вільного пробігу, газ можна розглядати як однорідне середовище. Умова рівноваги в цьому випадку носить гідродинамічний характер: повинні бути рівними тиски Р1 і Р2 в обох посудинах. В протилежному випадку, коли довжина вільного пробігу дуже велика в порівнянні з поперечними розмірами трубки, гідродинамічний підхід застосувати неможливо. Умова рівноваги потребує, щоб середнє число молекул газу, які проходять через трубку в одному напрямі, дорівнювало середньому числу молекул, які проходять в протилежному напрямі. Ця умова приводить до співвідношення:

(7)

З цього слідує, що якщо температури Т1 і Т2 різні, то при рівновазі будуть різні і тиски Р1 і Р2

мал. 3

Уявимо собі посудину, яка розділена пористою перегородкою А на дві частини В і С (див. мал. 3); нехай В і С з’єднані один з одним манометричною трубкою, яка заповнена рідиною. Коліна манометра з’єднуються один з одним через трубки з краном К. Нехай розріджений газ в В має температуру Т1, а в С температуру Т2, які підтримуються постійними. Нехай Т1< Т2. відкриємо на деякий час кран К для того щоб тиск по обидві сторони перегородки зрівнявся. Якщо потім кран К закрити, томи побачимо, що рідина в коліні Р опуститься, а в коліні Q підніметься. Це пояснюється тим, що газ проходить через пори перегородки від менш нагрітих країв пор до більш нагрітих. Таким чином, різниця температур на кінцях капілярів породжує різницю тисків. Це явище називається ефектом Кнудсена або тепловою ефузією.

Мал. 4

Поль (1884 – 1976) запропонував наступну демонстрацію цього явища. Береться пористий стакан з необпаленої глини, всередині якого знаходиться електричний нагрівник (мал. 4). Повітря з посудини може виходити назовні через скляну трубку, нижній кінець якого опущений в воду. Так як температура зовні посудини вища ніж температура оточуючого повітря, то зовнішнє повітря неприривно буде втягуватись всередину посудини. Тиск в посудині збільшується і зайве повітря неприривно виходить через скляну трубку у вигляді пузирьків.

Теплова ефузія грає важливу роль в явищах природи. Вдень поверхня землі нагрівається сонячними променями. Повітря з більш глибоких шарів підгрунття виходить по капілярам на поверхню і розсіюється вітром. Вночі поверхневий шар підгрунття охолоджується і виникає обернений потік повітря з поверхні в більш глибокі шари підгрунття. Так виникає обмін повітря в ґрунті, який необхідний для нормального життя рослин.

Умова (7) була б очевидною, якби з’єднувальна трубка була б безкінечно короткою. Тоді її можна було б розглядати як малий отвір в стінці між посудинами 1 і 2. Але якщо з’єднувальна трубка довга, то маємо деякі складності. Припустимо, що з’єднувальна трубка має циліндричну форму. З лівого кінця в неї щосекундно входить N=(1/4)n₁ ū₁ s частинок. Частина з цих частинок відображається назад в посудину 1, а інша частина проходить в посудину 2. Число пройдених частинок можна представити у вигляді N=(1/4)n₁ ū₁ s α_{1 2}, де α_{1 2} - коефіцієнт проходження в напрямку від посудини 1 до посудини 2. В оберненому напрямі з 2 в 1 проходить N=(1/4)n₂ ū₂ s α _{2 1} частинок, де α _{2 1} - коефіцієнт проходження в цьому напрямі. В установленому стані N_{1 2} = N_{2 1}, тобто

n₁ ū ₁ α _{1 2}= n₂ ū ₂ α _{2 1} (8)

Труднощі питання виникають в тому щоб доказати правильність співвідношення α_{1 2} = α _{2 1}. Коефіцієнт проходження ультрарозрідженого газу через трубку не може залежати від його тиску, так як молекули такого газу між собою практично не стикаються, а відчувають зіткнення лише зі стінками трубки. Значно важче вияснити вплив температури. Значення коефіцієнтів α1 2 і α _{2 1} залежить від характеру взаємодії молекул зі стінками при зіткненні. Припустимо, що молекули газу приходять в теплову рівновагу зі стінками в результаті вже одного або небагатьох зіткнень, причому їх відображення являється ізотропним. Якщо ця гіпотеза справедлива, то відносна доля молекул, які вибиваються з пучка при відображенні, залежить тільки від температури точки, в якій відбулося зіткнення, але не буде залежати від напрямку поширення пучка. Один пучок поширюється в сторону підвищення, а інший - в сторону пониження температури. Точки на поверхні трубки в яких молекули відображаються і вилітають з пучка, проходяться пучками в оберненій послідовності. Але ця обставина не може позначитися на втраті частинок в результаті всіх відображень, а тому α_{1 2} = α _{2 1} тоді (8) зводиться до

n₁ ū ₁ = n₂ ū ₂ (9)

а це співвідношення вже легко зводиться до вигляду (7). Та обставина, що закон (7) справджується на досліді може розглядатися як експериментальне підтвердження відношення α_{1 2} = α _{2 1}.

Розглянемо елементарну теорію ефекту Кнудсена. В першому наближенні можна думати, що до потоку молекул розрідженого газу через пористу перегородку можна застосувати рівняння (5), яке визначає еффузійний потік молекул через отвір в тонкій стінці. Тоді потоки молекул з В в С і з С в В відповідно запишуться у вигляді:

N₁=(

) p₁s, N₂=() p₂s

Умовою рівноваги газів, які знаходяться по різні сторони перегородки, виявиться рівність потоків N₁ = N₂ , тобто

() p₁s = () p₂s

Звідціля

(10 )

Таким чином, якщо в посудині розділити газ на дві частини пористою перегородкою, діаметр капілярів якої менше середньої довжини вільного пробігу молекул, то різниця температур на кінцях капілярів приведе до виникнення різниці тисків газів, а умовою рівноваги буде не рівність тисків, а рівність відношення тисків до корню квадратного з абсолютною температурою.

Абсолютний манометр Кнудсена. Припустимо, що пластинки А і В поміщені в дуже розріджений газ паралельно один одному на відстані значно меншій середньої довжини вільного пробігу молекул ( мал. 5 ). Рухома пластина В має таку ж температуру Т , як і оточуючий газ, а температура нерухомої пластини А не набагато вище і дорівнює Т+t . Температуру газу який знаходиться між пластинами можна вважати рівною середній температурі пластин Т+t/2. Завдяки різниці температур тиск газу між

мал. 5

пластинами р1 буде більший чим в іншому газі р. Таким чином, на рухому пластину буде діяти тиск

р₂ = р₁- р (11)

Згідно умови (10) рівновага неоднаково нагрітого розрідженого газу повинно зберігатися наступна рівність:

Особливості протікання газів в капілярах 📙 Курсовая → 🆔 168999