Збіжність рядів Фурьє

 

 

 

 

 

 

Збіжність рядів  Фур’є

 

 

 

Курсова робота

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗМІСТ

 

Вступ

Розділ 1. Ряди Фур'є

1.1 Основні відомості про  ряди Фур'є

Розділ 2. Збіжність рядів Фур'є

2.1 Постановка основних  завдань 

2.2 Характер збіжності  рядів Фур'є

Висновок

Література

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                         

                                                       

                                                             ВСТУП

   

   Жан Батист Жозеф Фур'є - французький математик, член Паризької Академії Наук (1817). Перші праці Фур'є відносяться до алгебри. Вже в лекціях 1796 року він виклав теорему про кількість дійсних коренів алгебраїчного рівняння, що лежить  між даними границями (опубліковано 1820 р), названу його ім'ям; повний розв’язок про кількість коренів алгебраїчного рівняння було отриман в 1829 р.. Ж.Ш. Ф. Штурмом. У 1818 г Фур'є досліджував питання про умови застосування, розробленого Ньютоном, методу чисельного рішення рівнянь, не знаючи про аналогічні результати, отримані в 1768 г французьким математиком Ж.Р. Мурайлем. Підсумком робіт Фур'є по числовим методах рішення рівнянь є "Аналіз визначених рівнянь", виданий посмертно в 1831г. Основною областю занять Фур'є була математична фізика. У 1807 і 1811 рр він представив Паризькій Академії Наук свої перші відкриття по теорії поширенні тепла в твердому тілі, а в 1822г опублікував відому роботу "Аналітична теорія теплоти", що зіграла велику роль в наступній історії математики. Це - математична теорія теплопровідності. Через спільність методу ця книга стала джерелом усіх сучасних методів математичної фізики. У цій роботі Фур'є вивів диференціальне рівняння теплопровідності і розвинув ідеї, в найзагальніших рисах намічені раніше Д. Бернулли, розробив для вирішення рівняння теплопровідності за тих або інших заданих граничних умов метод розподілу змінних (метод Фур'є), який він застосовував до ряду окремих випадків (куб, циліндр та ін.). У основі цього методу лежить представлення функцій тригонометричними рядами Фур'є.

Ряди Фур'є  тепер стали добре розробленим засобом в теорії рівнянь в частинних похідних при рішенні граничних задач. Ряди мають деякі переваги перед послідовностями взагалі. Так, відомо безліч ефективних ознак збіжності ряду, оцінок похибок наближення при заміні суми ряду на часткову. Якщо вибраний обчислювачем максимальний номер доданку в частковій сумі не гарантує досягнення заданої точності наближення, то при збільшенні цього номера і "нарощування" часткової суми - зберігається і використовується вже наявна інформація про колишню часткову суму.

Викладання  теорії, що об'єднує вивчення алгебраїчних рядів і тригонометричних рядів Фур'є, краще починати із загальної теорії ортогональних рядів в унітарному просторі з ортонормальным базисом. Ортогональний ряд є зчисленним аналогом кінцевої суми компонентів вектора (проекцій на орти), коефіцієнти Фур'є грають роль координат. Багато фактів векторної алгебри переносяться на унітарний простір, де введений скалярний добуток із звичайними властивостями (конкретно-визначенний інтеграл Рімана від добутку функцій).

Об’єктом дослідження є ряди Фур’є. Предметом дослідження є збіжність рядів Фур’є.

У роботі дані визначення ряду Фур'є, коефіцієнтів Фур'є, представлені приклади розкладань функцій в ряд Фур'є, а також розглянутий характер збіжності рядів Фур'є .

Робота складається  з вступу, 2-ох розділів, висновку, списку використаної літератури. Загальний обсяг становить 23 сторінки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                               РОЗДІЛ 1

РЯДИ ФУР’Є

 1.1 Основні відомості про ряди Фур'є

    Функція , визначена на усій числовій осі називається періодичною, якщо існує таке число , що при будь-якому значенні виконується рівність . Число називається періодом функції.

Визначемо деякі властивості цієї функції :

1) Сума, різниця, добуток і частка періодичних функцій періоду є періодична функція періоду .

        2) Якщо функція  період , то функція має період  .

        3) Якщо  - періодична функція періоду , то рівні будь-які два інтеграли від цієї функції, взяті по проміжках довжини (при цьому інтеграл існує), тобто при будь-яких і справедлива рівність

                                        .

 

                                     Коефіцієнти Фур'є. Ряд Фур'є.

  Нехай періодична функція з періодом представляється тригонометричним рядом (1), що правильно сходиться, тобто є його сумою. Виразимо коефіцієнти ряду через функцію .

Заздалегідь відмітимо властивості  системи тригонометричних функцій

(2)

 

1.

 

2.

 

3. ;

 

4. ,   .

1 - 4 називаються  властивостями ортогональности  системи (2) на відрізку  .

Інтеграли обчислюються з використанням формул перетворення твору тригонометричних функцій  в суму, наприклад, при 

 

для коефіцієнтів справедливі формули Фур'є :

;

    (3)

 

для виводу (2) проінтегруємо  спочатку тригонометричний ряд на

 

використовуючи  властивість 4 системи (2), маємо:

 

         для знаходження коефіцієнта помножимо обидві частини (1) на і отриманий правильний ряд, що сходиться, проінтегруємо на :

 

 В силу 1, 3, 4 маємо

 

аналогічно для знаходження коефіцієнта необхідно помножити обидві частини (1)  на і проінтегрувати отриманий ряд , що сходиться, використовуючи властивості 2- 4.

     Означення.  Тригонометричний ряд (1), коефіцієнти якого визначаються формулами Фур'є (3), називається рядом Фур'є , відповідних функцій

 

 

Тригонометричний  ряд. Ряд Фур'є

  Якщо розкладається на відрізку в тригонометричний ряд, що рівномірно сходиться :

 

то цей розклад єдиний і коефіцієнти визначаються за формулами:

,  , 

де 

Тригонометричний  ряд (1) розглянутого вигляду з коефіцієнтами  називається тригонометричним рядом  Фур'є, а  коефіцієнтами ряду Фур'є.

 

Достатні ознаки розкладу функції в ряд Фур'є

Точка розриву функції називають точкою розриву першого роду, якщо існує кінцеві межі справа і ліворуч  функції в цій точці.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Якщо періодична функція з періодом , неперервна, або має кінцеве число точок розриву 1-го роду на відрізку і цей відрізок можна розбити на кінцеве число частин, в кожному з яких монотонна, то ряд Фур'є відносно функції сходиться до в точках неперервності і до середнього арифметичного односторонніх границь в точках розриву роду (функція, що задовольняє цим умовам, називається кусочно-монотонною).

ТЕОРЕМА 2. Якщо   періодична функція з періодом , яка на відрізку   разом зі своєю похідною неперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду, то ряд Фур'є функції в точках розриву збігається до середнього арифметичного односторонніх меж (функція, що задовольняє цій теоремі, називається кусочно-гладкою).

 

Ряди Фур'є  для парних і непарних функцій

Нехай - парна функція з періодом 2L, що задовольняє умові .

Тоді для  коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо  формули:

,     де

Таким чином, у ряді Фур'є для парної функції відсутні члени з синусами, і ряд Фур'є для парної функції з періодом 2L виглядає так:

 

Нехай тепер  - непарна функція з періодом 2L, що задовольняє умові .

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

, де

  

          Таким чином, у ряді Фур'є для непарної функції відсутній вільний член і члени з косинусами, і ряд Фур'є для непарної функції з періодом 2L виглядає так:

 

    Якщо функція розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на проміжкуте тоді , де:

,

         ,

         .

 

    Якщо розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на [0;L], то визначивши задану функцію відповідним чином на [-L;0]; далі періодично продовживши на (T=2L), отримаємо нову функцію, яку розкладаємо в тригонометричний ряд Фур'є.

Для розкладe в ряд Фур'є неперіодичної функції, яка задана на кінцевому довільному проміжку [a, b], потрібно: визначити на [b, a+2L] і періодично продовжити, або довизначити на [b - 2L, a] і періодично продовжити.

 

 

Ряд Фур'є по будь-якій ортогональній системі  функцій

Послідовність функцій  неперервних на відрізку [a, b], називається ортогональною системою функції на відрізку

[a, b], якщо усі функції послідовності попарно ортогональні на цьому відрізку, тобто якщо

 

      Система називається ортогональною і нормованою (ортонормованою) на відрізку [a, b],

якщо виконується  умова 

 

      Нехай тепер - будь-яка функція неперервна на відрізку [a, b]. Рядом Фур'є такої функції на відрізку [a, b] по ортогональній системі називається ряд:

                                                    ,

 

коефіцієнти якого  визначаються рівністю: 

,   n=1,2,……..

 

Якщо ортогональна система функцій на відрізку [a, b] ортонормована, то в цьому випадку

 , n=1,2,…

 

        Нехай тепер - будь-яка функція, що безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [a, b]. Рядом Фур'є такої функції на тому ж відрізку по ортогональній системі називається ряд

    Якщо ряд Фур'є функції по системі (1) сходиться до функції в кожній її точці неперервності, що належить відрізку [a, b]. В цьому випадку говорять що на відрізку [a, b] розкладається в ряд по ортогональній системі (1).

 

 

Комплексна форма ряду Фур'є

Вираз називається комплексною формою ряду Фур'є функції , якщо   визначається рівністю

 

         Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і назад здійснюється за допомогою формул:

 

                

           (n=1,2,…)

 

 

 

РОЗДІЛ 2

ЗБІЖНІСТЬ РЯДІВ  ФУР’Є

2.1 Постановка  основних завдань

Означення 1. Ряд виду

(1) називається тригонометричним рядом.

Його часткові суми є лінійними комбінаціями функцій, що входять в систему

            . (2)

 

Означення 2. Множина функцій (2) називається тригонометричною системою.

  Лема 1. Тригонометрична система (2) має наступні властивості:

1) інтеграл по  відрізку від добутку двох різних функцій, що входять в неї, дорівнює нулю (ця властивість називається ортогональностью системи (2), тобто

(3)

2) (4)

Доведення. При будь-кому цілих невід’ємних  , таких, що , маємо

         Аналогічно доводиться і дві інших рівності (3).

Доведемо тепер (4) :

 

Теорема 1. Нехай     (5)    і ряд, що стоїть в правій частині цієї рівності, сходиться рівномірно на відрізку . Тоді

 

,

(6)

Доведення. Оскільки ряд, що стоїть в правій частині (5), сходиться рівномірно на відрізку , а усі його члени є безперервними на цьому відрізку функціями, то і його сума неперервна на відрізку , а сам ряд можна почленно інтегрувати від до :

 

 

Звідси слідує перша формула  з (6)

Якщо ряд (5) почленно перемножити  на і , то отримані ряди також рівномірно сходитимуться на відрізку .

Інтегруючи почленно ці ряди і використовуючи властивість ортогональности (3) тригонометричної системи і рівності (4), матимемо

,        .

          З отриманих співвідношень безпосередньо витікають формули (6).

Тепер помітимо, що інтеграли (6) мають сенс не лише для  функцій, безперервних на відрізку , а також, наприклад, і для функцій, інтеграли від яких абсолютно сходяться на цьому відрізку.

Нагадаємо, що поняття  інтеграла (як і інтеграла, що просто сходиться), що абсолютно сходиться, було введене для функцій, визначених на деякому проміжку з кінцями і , , для яких існує така кінцева множина точок , що функція інтегрована по Ріману на будь-якому відрізку , що лежить в заданому проміжку і не містить жодної з точок . При цьому якщо , то , а якщо , то .

Всяка кінцева  безліч точок має вказані вище властивості, називатимемо правильним розбиттям проміжку інтеграції функції . Очевидно, що якщо до правильного розбиття даного проміжку додати будь-яку кінцеву множину точок, що є внутрішніми або кінцевими точками цього проміжку, і розташувати точки, отриманної множини, в порядку зростання, то вийде знову правильне розбиття.

Якщо усі  інтеграли  сходяться, то можна визначити інтеграл . Він визначається рівністю   і називається інтегралом, що збігається.

Зазначимо, що значення інтеграла не залежить від вибору правильного розбиття проміжку інтегрування.

Якщо сходиться  інтеграл , то інтеграл також сходиться і називається абсолютно збіжним, а функція - абсолютно інтегрованою на даному проміжку.

Зазначемо, що якщо функція інтегрована по Ріману на деякому відрізку, то її абсолютна величина також інтегрована по Ріману на цьому відрізку, і отже, функція, інтегрована по Ріману на відрізку, абсолютно інтегрована на ньому.

Якщо інтеграл від функції  абсолютно сходиться на відрізку , то для неї усі інтеграли (6) також сходяться, оскільки вони є інтегралами від добутку абсолютно інтегрованої функції на обмежену (синус або косинус), а такі інтеграли абсолютно сходяться.

Означення 3. Нехай функція абсолютно інтегрована на відрізку .Тригонометричний ряд (1), коефіцієнти якого задаються формулами (6), називається рядом Фур'є або, детальніше, тригонометричним рядом Фур'є, а числа і   - коефіцієнти Фур'є функції .

В цьому випадку  пишуть         .

         Часткові суми порядку цього ряду позначатимемо через ,  або, називати сумами Фур'є порядку функції .

Підкреслимо, що тут знак ~ означає не асимптотичну рівність, а просто відповідність: функції зіставляються її ряду Фур'є.

Теорему 1 в цих  термінах можна перефразовувати  таким чином:

Будь-який тригонометричний ряд, що рівномірно сходиться, є рядом Фур'є своєї суми.

Далі будуть розглянуті періодичні функції , для кожної з яких існує число таке, що при усіх , що належать області визначення функції, значення і також належать цій області і виконується рівність

         Такі функції називаються - периодичними.

Нехай абсолютно інтегрована на відрізку і, отже, їй можна зіставити ряд Фур'є. Якщо він сходиться на деякій множині, то сходиться до -періодичної функції, оскільки усі його члени - періодичні. Тому буває зручно і саму функцію "періодично продовжити" з періодом . Лапки поставлені тому, що насправді функцію можна продовжити періодично тільки у випадку, коли .

Якщо ця умова  не виконана, то продовження функції назвемо -периодическую функцію , яку отримаємо, вважаючи для будь-якої точк , в якій визначена функція (нагадаємо, що, через абсолютну інтегрованість функції на відрізку , вона визначена в усіх його точках, окрім, звичайно їх множини);

                                             

 

Така пропозиція у разі, коли , призводить до неспівпадання значень функцій і   при . Проте, оскільки коефіцієнти Фур'є функції визначаються і допомогою інтегралів (6), це не приведе до їх зміни і, отже, ряди Фур'є цій функції і продовженної   співпадають.

Відмітимо, що при  вказаному періодичному продовженні функція може не бути неперервною в точках , навіть якщо функція   безперервна в і , причому . Неперервність в інших точках при періодичному продовженні зберігається: якщо  безперервна в точці , то неперервна в будь-якій точці

Часто продовжену функцію  означатимемо тим же символом , що й продовжену.

Якщо функція  -периодичою, то при обчисленні її коефіцієнтів Фур'є інтегрування можна виконати по будь-якому відрізку довжини , наприклад по відрізку :

 

,      .

 

Дійсно, якщо будь-яка функція має період, рівний T, і для деякого числа   інтегрована на відрізку , то при будь-якому виборі    вона інтегрована і на відрізку , причому

 

,  тобто інтеграл   не залежить від вибору числа .

 

 

2.2 Характер  збіжності рядів Фур'є

 

Розглянемо  зв'язок рядів Фур'є функції і  її похідної.

Теорема 2. Нехай  функція  безперервна на відрізку , і нехай .

       Розглянемо швидкість збіжності ряду Фур'є залежно від гладкої функції. Заздалегідь доведемо лему.

Лема 1. Нехай функція має на відрізку неперервні похідні до порядку включно і кусочно-неперервну похідну порядку , причому   .

 

Тоді коефіцієнти  Фур'є функції  задовольняють нерівність

                                           ,

  де і ряд збігається.

Доведення. Застосовуючи послідовно теорему 1     разів, отримаємо

,   де або , (1)

або  , (2)

причому, за нерівністю Бесселя         . (3)

       Покладемо . Через нерівність, ряд збігається.

Якщо справедливо (1), то

         .

 

Аналогічно, .  Подібним чином ця оцінка виходить і у випадку (2).

Теорема 3. Нехай  функція  має на відрізку неперервні похідні до порядку включно і кусочно неперервну похідну порядку , причому . Тоді ряд Фур'є функції рівномірно і абсолютно на усьому відрізку сходиться до самої функції і

 

,

де  ( - числова послідовність), а - сума Фур'є порядку n функції f .

Таким чином, можна  сказати, що на відрізку рівномірно виконується оцінка

.

         Далі помітимо, що на відрізку виконується нерівність (рис. 1) і, отже, .

 

Рис. 1

Тому       .

 

Таким чином, з (7) витікає оцінка

 

. (9)

 

Покладемо, нарешті, ; .

Тому з нерівності (9) отримуємо

 

  при цьому нескінченно мала не залежить від точки .

Ряд (4) сходиться  до функції  ; отже, і, таким чином, рівномірна збіжність ряду Фур'є с вказаною оцінкою доведена.

Його абсолютна  збіжність також доведена, оскільки ми отримуємо оцінку   ,  з якої слідує, що ряд Фур'є функції не лише абсолютно збігаеться, але і що ряд, складений з абсолютних величин його членів, і навіть, більше того, ряд    збігається з тією ж "швидкістю" .

         З цієї теореми слідує, зокрема при , що ряд Фур'є всякої періодичної періоду неперервної і кусочно-неперервної функції, що диференціюється, рівномірно на усьому періоді сходиться до самої функції.

Умови рівномірної збіжності ряду Фур'є. Якщо функція має хоч би один розрив, то її ряд Фур'є не може збігатися до неї рівномірно, оскільки сума ряду неперервних функцій, що рівномірно збігаються, завжди неперервна. Таким чином, неперервність функції є необхідна (але, звичайно, не достатня) умова рівномірної збіжності її ряду Фур'є.

Просту достатню умову дає наступна теорема.

Теорема 4. Якщо функція  з періодом 2π абсолютно неперервна, а її похідна належить L[-π, π], то ряд Фур'є функції f сходиться до неї рівномірно на усій прямій.

Доказ. Позначимо  через ап' і b 'п коефіцієнти Фур'є  функції f'. Оскільки f абсолютно безперервна, то до інтеграла  можна застосувати формулу інтеграції по частинах. Отримуємо

 

 

Аналогічно 

 

Отже,   (10)

 

Цей ряд сходиться, оскільки

 

    а

 

через нерівності Бесселя. Числовий ряд (10) слугує, мажорантою для ряду Фур'є функції f. Але тоді, ряд Фур'є функції f рівномірно (і абсолютно) сходиться. Залишається показати, що сума цього ряду є f.

Нехай φ -сумма  ряду Фур'є функції f . Тоді φ має  ті ж самі коефіцієнти Фур'є, що і f. Звідси через безперервність обох функцій отримуємо, що f = ф.

Можна дати іншу умову рівномірної збіжності  ряду Фур'є.

Теорема5. Якщо на деякій множині сумована функція f обмежена, тобто для всякого ε>0 існує таке δ>0, що одночасно для усіх , то ряд Фур'є функції f сходиться до цієї функції рівномірно на Е.

Лемма 3. Якщо В - передкомпактне в метриці множина сумовуваних функцій, то для всякого ε > 0 знайдеться таке N = N(ε), що

  при λ≥N(ε) для усіх  одночасно.

Для доказу леми візьмемо у В кінцеву ε/2-сеть і оберемо N так, щоб

    при λ≥N.

 

Якщо тепер f - довільна функція з B, то при деякому i

 

 і, отже 

 

Тим самим лема доведена.

Застосування  цієї леми засноване на тому факті, що легко перевіряється, що в умовах теореми 4 множина функцій

  предкомпактна.

Для випадку  декількох незалежних змінних теж  можна сформулювати як умови, достатні для збіжності ряду Фур'є в  кожній точці, так і умови рівномірної  збіжності ряду Фур'є.

                                            ВИСНОВКИ

Розклад функції  в ряд означає середньоквадратичне прямування часткових сум ряду до функції.

Унітарний простір усіх кусочно-неперервних функцій неповний. З середньоквадратичної збіжності, взагалі кажучи, не наслідує поточкова, але за деяких додаткових природних умов тригонометричний ряд збігається абсолютно і рівномірно. Один із способів встановлення такого факту, полягає в попередньому дослідженні почленної інтегрованості загального ряду Фур'є. З рівномірної збіжності виходить не лише поточкова, але і середньоквадратична збіжність до одної тої самої границі. Операція, зворотна диференціюванню, - інтеграція із змінною верхньою межі - "покращує" не лише функції (інтегровану по Риману перетворить в безперервну, а безперервну - в ту, що диференціюється), але і характер збіжності : функціональний ряд, що середньоквадратично збігається, допускає почленну інтеграцію і перетвориться в ряд інтегралів, що рівномірно збігаються, із змінною верхньої межі. У разі інтеграції тригонометричного ряду - функціональний ряд таких інтегралів збігається, крім того, і абсолютно. Звідси слідують такі твердження.

  Тригонометричний ряд для кусочно-гладкої періодичної функції збігається до неї абсолютно і рівномірно. Якщо ж функція, крім того, має кусочно-гладку похідну, то цей ряд допускає почленне диференціювання, і тригонометричний ряд похідних теж збігається абсолютно і рівномірно. Подібні факти мають місце і для старших похідних. Усе це дозволяє ефективно застосовувати тригонометричні ряди в дослідженні лінійних диференціальних і інтегральних рівнянь і в побудові наближених методів рішення лінійних і нелінійних рівнянь.

Математиками  був розвинений геометричний підхід до теорії рядів Фур'є шляхом вступу повного ортонормального базису. Історично ці ряди виникли в результаті аналізу складних коливань і розкладу їх на гармонійні.

 

                                         Список використаних джерел

 

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. «Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного», Москва, «Наука», 1989 г.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.М.:Наука, 1976г.
3. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т.1,2.-М.:Наука,1970.
4. Пискунов Н.С «Дифференциальное и интегральное исчисления», Москва, «Наука», 1972 г.
5. Подольский В.А., Суходский А.М. «Сборник задач по математике для техников-программистов», Москва, «Высшая школа», 1978 г.
6. Рисс Ф.,Надь Б.С.,Лекции по функциональному анализу,ИЛ, 1945.
7. Рудин У. Основы математического анализа.-2-е изд.-М.:Мир,1976.
8. Уваренков И.М., Маллер М.З. «Курс математического анализа», Москва, «Просвещение», 1976 г.
9. Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 3, Москва, «Наука», 1969г.
10. Шилов Г.Е. «Математический анализ функции одного переменного», Москва, «Наука», 1970г.
11. Шипачев В.С. «Высшая математика», Москва, «Высшая школа», 1990г.
12. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. «Краткий курс высшей математики», том 2, Москва, «Высшая школа», 1978г.