Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей F(x). Найти: а) плотность распределения вероятностей случайной величины X; б). 2

Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей F(x). Найти: а) плотность распределения вероятностей случайной величины X; б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X. Fx=0, при x≤-π4cos2x, при -π4<x≤01, x>0

Чтобы найти плотность распределения вероятностей, продифференцируем каждую строчку в формуле, задающей функцию распределения, учитывая, что производная константы равна нулю
fx=F'x=0, при x≤-π4-2sin2x, при -π4<x≤00, x>0
Математическое ожидание найдем по формуле:
MX=-∞∞x∙f(x)dx=-2-π40x∙sin2xdx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x dv=sin2xdx
du=dx v=-12cos2x
=x∙cos2x0-π4--π40cos2xdx=x∙cos2x0-π4-12sin2x0-π4=
=12sin-π2=-12
Дисперсию найдем по формуле:
DX=-∞∞x2∙f(x)dx-(Mx)2=-2-π40x2∙sin2xdx-14=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x2 dv=sin2xdx
du=2xdx v=-12cos2x
=x2cos2x0-π4-2-π40xcos2xdx-14=-2-π40xcos2xdx-14=
Применим формулу интегрирования по частям еще раз:
u=x dv=cos2xdx
du=dx v=12sin2x
=-xsin2x0-π4+-π40sin2xdx-14=-π4sin-π2-12cos2x0-π4-14=
=π4-12-14=π-34≈0,035
σX=D(X)=0,035≈0,187